Demostrar que $21|a^2 +b^2 \implies 441|a^2+b^2$

Question

Demostrar que $$21|a^2+b^2 \implies 441|a^2+b^2$$

Puedo demostrar que si $3$ divide $a^2+b^2$ que también lo hace $9$ así que lo que queda por hacer es probar que $7$ et $49$ dividir $a^2+b^2$ y estoy atascado en este punto.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} 1^2&\equiv 1\pmod{7},\\ 2^2&\equiv 4\pmod{7},\\ 3^2&\equiv 2\pmod{7},\\ 4^2&\equiv 2\pmod{7},\\ 5^2&\equiv 4\pmod{7},\\ 6^2&\equiv 1\pmod{7}. \end{align} Es imposible obtener 2 números con sustitución de $\{1,2,4\}$ para obtener una suma divisible por $7$ . Así, para tener $a^2+b^2\equiv 0\pmod{7}$ debe ser que $a,b\equiv 0\pmod{7}$ y así $a^2,b^2\equiv 0\pmod{49}$ .

Answer 2

Considerando el anillo de enteros gaussianos $\Bbb Z[i]$ un primo $p\in\Bbb N$ sigue siendo primordial en $\Bbb Z[i]$ sólo si $p\equiv -1\pmod 4$ . Tal es el caso de $3$ et $7$ . Sin embargo, en $\Bbb Z[i]$ tiene $a^2+b^2=(a+ib)(a-ib)$ .

Entonces, si, digamos, $7\mid a^2+b^2$ entonces $7$ divide $a+ib$ o $a-ib$ en $\Bbb Z[i]$ . Pero, por la identidad $\overline{7z}=\overline 7\overline z=7\overline z$ sabemos que $7$ divide cualquiera de esos números si y sólo si divide a ambos. Así que $49\mid (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ .