Diferencie $v(x,y)=-\int_0^x u_y(t,0)dt+\int_0^y u_x (x,t) dt$ por ejemplo $x,y$ para demostrar la diferenciabilidad compleja

Question

El dominio es un abrir la caja de la unidad (si es necesario) y $u$ es armónico, $v$ es el conjugado armónico definido a continuación. Demuestra la diferenciabilidad compleja

Diferenciar con respecto a $x$ y $y$ :

$$v(x,y)=-\int_0^x u_y(t,0)dt+\int_0^y u_x (x,t) dt$$

Supuse que la respuesta sería:

$v_x=-u_y$ y $v_y=u_x$ (lo que implicaría diferenciabilidad compleja usando Cauchy Riemann), pero ¿puede alguien ayudarme a hacer la diferenciación explícitamente, con explicaciones?

Intenté usar $dv/dx=dv/dt \times dt/dx$

Si estoy en lo cierto $dv/dt=-u_y(x,0)+u_x(x,y)$

Answer 1

Sea $v(x,y)$ viene dada por

$$v(x,y)=-\int_0^x u_y(t,0)\,dt+\int_0^y u_x (x,t)\, dt$$

Entonces, tomando la derivada parcial con respecto a $x$ produce

$$\begin{align} v_x(x,y)&=-u_y(x,0)+\int_0^y u_{xx} (x,t) \,dt \tag 1\\\\ &=-u_y(x,0)-\int_0^y u_{yy} (x,t) \,dt \tag 2\\\\ &=-u_y(x,0)-\left(u_y(x,y)-u_y(x,0)\right)\\\\ &=-u_y(x,y) \end{align}$$

que es una ecuación de Cauchy-Riemann. Nótese que al pasar de $(1)$ a $(2)$ explotamos el hecho de que $u$ es armónico.

Entonces, tomando la derivada con respecto a $y$ produce

$$v_y(x,y)=u_x(x,y)$$

que es la otra ecuación de Cauchy-Riemann. ¡Y hemos terminado!