Hallar la solución de la ecuación $(y+z) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y} = x+y$

Question

Resolver la ecuación $(y+z) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y} = x+y$ donde $u=u(x,y)$ . Lo que he hecho: Sea v(x, y, u) = 0 y cambiando u por v la EDP pasa a ser: $(y+z) \frac{\partial v}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial v}{\partial y} + (x+y)\frac{\partial v}{\partial u}=0$

Para resolver la ecuación tengo que encontrar las soluciones del sistema $\frac{dx}{y+z}=\frac{dy}{x+z}=\frac{du}{x+y}$

Aquí me quedé atascado. Sé cómo resolverlo cuando u=z, pero como en este caso no sé nada sobre z, no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

La cuestión es : Resolver la ecuación $(y+z) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y} = x+y$ donde $u=u(x,y)$ .

Esto es contradictorio porque $z$ aparece en el PDE pero no aparece en $u(x,y)$ .

Son dos formas diferentes de entender el problema :

PRIMERO, la variable $z$ se olvidó en la función $u$ :

La pregunta debería ser : Resolver la ecuación $(y+z) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y} = x+y$ donde $u=u(x,y,z)$ . $$(y+z) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y}+0*\frac{\partial u}{\partial z}=x+y$$ Así pues, el sistema Charpit-Lagrange de EDO características es : $$\frac{dx}{y+z}=\frac{dy}{x+z}=\frac{dz}{0}=\frac{du}{x+y}$$ Así, una ecuación característica es $$z=c_1$$ y otras dos ecuaciones características vendrán de : $$\frac{dx}{y+c_1}=\frac{dy}{x+c_1}=\frac{du}{x+y}$$ Supongo que puedes resolverlos y encontrar la solución general $u(x,y,z)$ que incluye una función arbitraria.

SEGUNDO, la escritura de la ecuación PDE es ambigua porque se utilizan dos símbolos diferentes para una misma función : $$u(x,y)=z(x,y)$$

La pregunta debería ser : Resolver la ecuación $$(y+u) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+u) \frac{\partial u}{\partial y} = x+y \text{ where } u=u(x,y)$$

Por tanto, el sistema Charpit-Lagrange de EDO características es : $$\frac{dx}{y+u}=\frac{dy}{x+u}=\frac{du}{x+y}$$ Supongo que se pueden resolver para dos ecuaciones características y encontrar la solución general $u(x,y)=z(x,y)$ que incluye una función arbitraria.

Para evitar la ambigüedad debes escribir cuál de los dos problemas anteriores es el correcto.

Si está atascado en el cálculo, le invitamos a mostrar dónde está la dificultad.

Answer 2

Ecuación: $(y+z) \frac{\partial u}{\partial x} + (x+z) \frac{\partial u}{\partial y} = x+y$ . Consideramos z como constante.

Definamos $x' \equiv x+z$ , $y' \equiv y + z$ y $\,\, v(x',y') \equiv u(x',y')-x'-y'$ .

Entonces Ecuación: $y' \frac{\partial v}{\partial x'} + x' \frac{\partial v}{\partial y'} = -2z$ .

De hecho, tenemos alguna estrategia para resolver el pde anterior.

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Por ahora, considero x', y' como x , y.

Considerar la transformación $(s,t) = (\frac{y^2 - x^2}{2},x+y)$ . Entonces la relación entre los diferenciales parciales es $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial s}{\partial x} &\frac{\partial t}{\partial x} \\ \frac{\partial s}{\partial y} & \frac{\partial t}{\partial y}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial s}\\ \frac{\partial}{\partial t} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -x &1 \\ y & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial s}\\ \frac{\partial}{\partial t} \end{bmatrix} $$

Entonces la ecuación será

$$ y \frac{\partial v}{\partial x} + x \frac{\partial v}{\partial y} =y(-x\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{\partial v}{\partial t}) + x(y\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{\partial v}{\partial t}) = \pmb{t \frac{\partial v}{\partial t} = {-2z}} $$

Es decir, solución: $$ v = -2zln(|t|) + F(s)\quad .\\ $$

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Equivalentemente, $$ v = -2z\,ln(|x'+y'|) + F({y'}^2 - {x'}^2)\\ u = -2z\,ln(|x'+y'|) + F({y'}^2 - {x'}^2) + x' + y' $$ Así, $$ u = -2z\,ln(|x+y+2z|) + x + y + 2z + F[\,(x-y)(x+y+2z)\,] $$

$$$$ Agradeceremos cualquier pregunta o indicación.