Demostración de la igualdad de números complejos con condiciones

Question

Tengo la siguiente pregunta:
Prueba de que $\operatorname{Re}\left \{ z_{1}\cdot \bar{z_{2}} \right \}=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$ sólo si: $\arg z_{1} -\arg z_{2} =2\cdot \pi \cdot n$ ( $\;(n\in \mathbb{Z})$ .

Esta es mi solución:
$z_{1}=x+iy, z_{2}=a+ib$

$z_{1}\cdot \bar{z_{2}}=(x+iy)\cdot (a-ib)=xa+yb+i(ya-bx)$ $\rightarrow \operatorname{Re}\left \{ z_{1}\cdot \bar{z_{2}} \right \}=xa+yb$

$|z_{1}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, |z_{2}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$|z_{1}|\cdot |z_{2}|=\sqrt{(x^{2}+y^{2})\cdot (a^{2}+b^{2})}=\sqrt{x^{2}a^{2}+x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}}$

$\Rightarrow (xa+yb)=\sqrt{x^{2}a^{2}+x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}}$
$\overset{()^{2}}{\rightarrow}x^{2}a^{2}+2xayb+y^{2}b^{2}=x^{2}a^{2}+x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}$
$\rightarrow2xyab=x^{2}b^{2}+y^{2}a^{2}\rightarrow x^{2}b^{2}-2xyab+y^{2}a^{2}=0\rightarrow (xb-ya)^2=0$

$x=r_{1}\cos\theta , y=r_{1}\sin\theta$
$a=r_{2}\cos\varphi , b=r_{2}\sin\varphi $

$(r_{1}\cos\theta \cdot r_{2}\sin\varphi-r_{1}\sin\theta\cdot r_{2}\cos\varphi)^2=0$
$(r_{1} \cdot r_{2} (\cos\theta \sin\varphi-\sin\theta \cos\varphi))^2=0$
$\sin^2(\varphi-\theta)=0$

Por cada $n$ que ponemos en la condición, la ecuación es cierta pero el ángulo $\pi$ también es una solución para esta ecuación, pero no se crea a partir de la condición.
¿En qué me he equivocado?
Gracias a todos por la ayuda.

Answer 1

Una forma mejor de resolver el problema (sin abordar dónde puede estar equivocada su solución): escriba $z = re^{i\theta}$ y $w = se^{i\phi}$ y calcula $z \bar{w}$ .

Esto es fácil si conoces los exponenciales complejos. Si no, piensa en $$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$ como abreviatura.

Answer 2

Sea $\mathbf{z}$ denota el vector $\in\mathbb{R}^2$ correspondiente a $z$ por lo que si $z=x+i y$ , $\mathbf{z}=\left(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}\right)$ .

Entonces $\operatorname{Re}\left \{ z_{1}\cdot \bar{z_{2}} \right \}=\mathbf{z_1}.\mathbf{z_2}$ es decir, el producto punto en $\mathbb{R}^2$ . Esto se debe a que $$\operatorname{Re}\{(x_1+iy_1).(x_2-iy_2)\}=\operatorname{Re}\{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)\}=\left(\begin{smallmatrix}x_1\\y_1\end{smallmatrix}\right)\cdot \left(\begin{smallmatrix}x_2\\y_2\end{smallmatrix}\right)$$ Por lo tanto, la ecuación original $$\operatorname{Re}\left \{ z_{1}\cdot \bar{z_{2}} \right \}=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$$ es equivalente a $$\mathbf{z_1}.\mathbf{z_2}=|z_1|\cdot |z_2|=|\mathbf{z_1}|\cdot |\mathbf{z_2}|$$ Pero $$\mathbf{z_1}.\mathbf{z_2}=|\mathbf{z_1}|\cdot |\mathbf{z_2}| \cos{\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\mathbf{z_1}$ y $\mathbf{z_2}$ . Por lo tanto $\cos{\theta}=1$ lo que significa que los vectores apuntan en la misma dirección y $\mathbf{z_1}=\lambda\mathbf{z_2}$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ y $\lambda> 0$ . Esto implica, trasladándolo de nuevo a los números complejos, que los argumentos de los números complejos difieren en una rotación completa o $2\pi$ radianes: $$\arg z_{1} -\arg z_{2} =2\cdot \pi \cdot n$$

Answer 3

Pista:

Condición $\arg z_{1} -\arg z_{2} =2\cdot \pi \cdot n$ $\;(n\in \mathbb{Z})$ es lo mismo que escribir $z_2 = k\cdot z_1$ para algún número real positivo $k$ .

También recuerde $$Re(z) = {z+\bar{z}\over 2}\;\;\;\;\;\;{\rm and}\;\;\;\;\;\;|z|^2 = z\cdot \bar{z}$$

Desde $$Re(z_1\bar{z}_2) = {z_1\bar{z}_2+z_2\bar{z}_1\over 2}\;\;\;\;\;\;{\rm and}\;\;\;\;\;\;|z_1z_2|^2 = z_1z_2\cdot \bar{z_1} \bar{z_2}$$

tenemos $$(z_1\bar{z}_2+z_2\bar{z}_1)^2 = 4z_1z_2\cdot \bar{z_1} \bar{z_2}$$ lo que implica $$(z_1\bar{z}_2-z_2\bar{z}_1)^2 =0\implies z_1\bar{z_2} = z_2\bar{z_1}\implies $$ $$z_1\cdot \bar{z_2}= |z_1z_2|\implies z_1 =z_2\cdot \underbrace{\Big|{z_1\over z_2}\Big|}_k$$

$$z_1 = k\cdot z_2\implies \arg(z_1)-\arg(z_2)=2\pi n$$

Answer 4

Hay una cosa oculta con la que debes tener cuidado cuando cuadras ambos lados asumiendo que $ax+by>0$ para que la igualdad tenga sentido . Pero esto significa $\cos \phi \cos \theta +\sin \phi \sin \theta >0$ de ahí $\cos(\theta -\phi)>0$ por lo que la diferencia es en el primer o cuarto trimestre, pero si la diferencia es múltiplo de $\pi$ entonces podría pasar una solución en primera y la otra estaría en tercera.