Un triángulo con coordenadas y lados enteros

Question

¿Existe un triángulo con lados enteros y coordenadas enteras cuando ninguno de los ángulos es $90$ ? He intentado resolver el caso general pero me he quedado atascado.

Actualización:

Que el Triángulo sea $T$ cuyos vértices son $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ tal que $x_i\neq x_j\neq y_i \neq y_j$ y ángulos tales que $A_i\neq \frac{\pi}{2}$

Answer 1

El triángulo con vértices $(-3,0),(3,0),(0,4)$

Nota 1: Considere cualquier Triple pitagórico $(a,b,c)$ entonces $a,b,c \in \mathbb{N}$ y $a^2+b^2=c^2$ . Consideremos ahora el triángulo con vértices de coordenadas $(0,0),(b,0),(0,a)$ . Finalmente para evitar el ángulo recto considere el triángulo con vértices $(-b,0),(b,0),(0,a)$ . Es evidente que todas las coordenadas son números enteros y $$\|(b,0) - (-b,0)\|=2b, \quad \|(\pm b,0) - (0,a)\| = c,$$ que muestra que todas las aristas tienen longitudes enteras.

Nota 2: Aprovechando la misma idea, también podemos construir no isósceles triángulos. Por tanto, consideremos $(a,b,c)$ un pitagórico triple y $(b,d,e)$ otro triple pittafórico (por ejemplo $(5,12,13)$ y $(12,35,37)$ ), entonces el triángulo $(-a,0), (d,0), (0,b)$ tiene longitudes de lado y coordenadas de vértice enteras.

Answer 2

Utilizando números complejos para las coordenadas racionales, tome un triángulo inicial con $$A=a+0\ i,\ B=b+0\ i,\ C=0+c\ i.$$ Este triángulo funciona siempre que cada uno de $a^2+c^2,\ b^2+c^2$ es un cuadrado racional. Este triángulo podría reescalarse multiplicando todo por un denominador común para que las coordenadas fueran números enteros. Sin embargo, por ahora mantén las coordenadas racionales. [Para un triángulo general en el plano, se puede elegir un lado y demostrar que el pie de la perpendicular a ese lado desde el tercer vértice tiene coordenadas racionales. Dicho triángulo tiene área racional utilizando una fórmula determinante del área basada en las coordenadas. Esto implica que la longitud de una perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto extendido es racional, de modo que el triángulo general puede reposicionarse como en la descripción anterior del "triángulo inicial"].

La siguiente pregunta es cómo se puede girar (y quizás estirar) el triángulo inicial y mantener lados racionales. Para ello utilizamos un número complejo $z=x+i\ y$ como multiplicador, donde $x,y$ son racionales para mantener la nueva coordinada racional, y también $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ debe ser racional, para mantener las longitudes laterales racionales, ya que cada longitud se multiplica por $|z|.$ Entonces el triángulo girado/estirado es $Az,Bz,Cz,$ y tiene longitudes laterales racionales.

Esta construcción da entonces todos aquellos para los que un lado tiene el pie de la perpendicular desde el tercer vértice en el origen. Entonces uno puede mover que por una traducción racional por lo que el pie perpendicular puede estar en cualquier punto racional, y, finalmente, multiplicar todo por algún número entero con el fin de hacer que las longitudes laterales y coordinado todos los números enteros.

He aquí uno obtenido por el método anterior, con todos los lados y coordenadas enteros, para el que no hay lados horizontales ni verticales ni ángulo recto. $$A=(288,-540),\ B=(225,120),\ C=(-160,300)$$ Utilicé un multiplicador $z$ de norma $17$ y los lados son $AB=39\cdot 17,$ $AC=56\cdot 17,$ y $BC=25 \cdot 17.$