No existe tal colección para $n=2$ . Esto sigue la construcción de mi documento "Pequeños 3manifolds de gran género" . El resultado del trabajo es que para cualquier $g$ existen 3manifolds no Haken irreducibles orientables cerrados $M$ del género $\geq g$ . Se deduce de las técnicas de Scharlemann-Thompson basado en el trabajo de Casson-Gordon , que para cualquier función de Morse sobre $M$ debe existir una superficie de nivel de valor regular con una componente de género $\geq g$ .
Sospecho que esto también es falso en dimensiones $n\geq 3$ . En particular, conjeturo que para cualquier colección finita de objetos cerrados $n$ -manifolds, existe una congruencia aritmética hiperbólica $n+1$ -manifold $M$ tales que los componentes de los conjuntos de niveles regulares de cualquier función de Morse sobre $M$ no mienten en esta colección. Creo que puede ser posible utilizar una generalización de métodos de Lackenby para demostrarlo.
Addendum: Añadiré algunos detalles que explican el método de Scharlemann-Thompson. Primero algunos antecedentes. Es natural considerar una extensión de las funciones de Morse a las variedades con frontera, de tal forma que cada componente de la frontera debe ser una componente de un conjunto de niveles regulares de la función. Si cortamos una variedad a lo largo de alguna componente de un conjunto de niveles regulares de una función de Morse, la restricción da una función de Morse en la variedad resultante con frontera. Una función de Morse en un 3-manifold tiene puntos críticos de índice $0,1,2,3$ . La negación de la función de Morse intercambia puntos críticos de índice $i$ con índice $3-i$ . Un cuerpo de asa de género $g$ es un 3manifold orientable que admite una función de Morse con un único punto crítico de índice $0$ y $g$ puntos críticos del índice $1$ . Alternativamente, se obtiene a partir de una bola ( $0$ -handle) añadiendo $g$ 1 asa. Por lo tanto, tiene una única componente de frontera de género $g$ . ![A genus 3 handlebody]()
Negando la función de Morse, vemos que un handlebody es también una variedad con una función de Morse con un único punto crítico de índice $3$ y $g$ puntos críticos del índice $2$ .
Si se tiene una función Morse autoindexable $f$ de un 3manifold conectado, entonces la superficie llana $f^{-1}(1.5)$ es un desdoblamiento de Heegaard, que divide la variedad en dos géneros $g$ handlebodies (siempre se puede anular el exceso de índice $0$ y $3$ puntos críticos para suponer que sólo hay uno de cada).
Una generalización natural de un handlebody es un cuerpo de compresión que es un 3manifold con el límite que admite una función de Morse con los puntos críticos del índice $0$ y $1$ (o $2$ y $3$ ). Un cuerpo de compresión conexo con una función de Morse autoindexada con índice $0$ y $1$ Los puntos críticos tienen un "límite inferior" que consiste en los componentes del límite con el mínimo valor Morse, y un "límite superior" que consiste en los componentes con el máximo valor Morse. El límite superior se obtiene a partir del límite inferior y de una colección de esferas para cada punto crítico de índice 0 añadiendo tubos para cada asa 1. El término cuerpo de compresión surge del hecho de que el límite inferior se obtiene a partir del superior mediante compresión (añadiendo 2 asas) y, posiblemente, eliminando algunas esferas. Por ejemplo, en el caso de un cuerpo de asas, el límite inferior está vacío y el superior es de género $g$ superficie.
Ahora mostramos cómo obtener una descomposición de un 3-manifold en cuerpos de compresión a partir de una función de Morse, que están separados por superficies $\Sigma_{\pm}$ . Por comodidad, supongamos $f$ es genérico, por lo que tiene como máximo un crítico en cada nivel, y tiene $n$ puntos críticos. Podemos tomar números $r_0 < c_1 < r_1 < c_1 < r_2 < \cdots < r_{n-1} < c_n < r_n$ de modo que $r_i$ es un nivel regular de $f$ y $c_i$ es un nivel crítico entre $r_{i-1}$ y $r_i$ . Tenga en cuenta que $f^{-1}(r_0)=f^{-1}(r_n) =\emptyset$ . Entonces $\Sigma_+\cup \Sigma_{-} \subset f^{-1}(\{r_0, \ldots, r_n \})$ . Cada pieza pieza $f^{-1}([r_i,r_{i+1}])$ es un cuerpo de compresión con una sola asa. Dejamos $C_0$ sea la unión de los componentes de $\{f^{-1}([r_{i-1},r_i])\}$ que contienen un índice $0, 1$ o ningún punto crítico, y dejamos que $C_1$ sea la unión de los componentes que contienen un índice $2$ o $3$ punto crítico. Por lo tanto $C_0, C_1$ son cuerpos de compresión. El límite del cuerpo de compresión $C_0$ tiene dos subsuperficies, el "límite inferior" $\Sigma_-$ y "límite superior" $\Sigma_+$ . Negación de la función de Morse en $C_1$ vemos que tiene el mismo límite superior y el mismo límite inferior que $C_0$ .
Intuitivamente, la superficie $\Sigma_+$ es una unión de componentes de superficies de nivel regular de $f$ que se encuentran por encima de un punto crítico de índice $0$ o $1$ y por debajo de un punto crítico de índice $2$ o $3$ . Del mismo modo, $\Sigma_-$ se obtiene a partir de las componentes de las superficies planas regulares de $f$ que se encuentran por encima de un punto crítico de índice $2$ o $3$ y por debajo de un punto crítico de índice $0$ o $1$ . Entonces $\Sigma_-$ consiste en componentes de los "niveles finos" de $f$ y $\Sigma_+$ consiste en los "niveles gruesos".
Si se aplica este proceso a una función de Morse autoindexada de una variedad cerrada, se obtiene un desdoblamiento de Heegaard. En general, se obtiene lo que Scharlemann-Thompson denominan un división de Heegaard generalizada que es una descomposición en dos cuerpos de compresión (posiblemente desconectados), de modo que se identifican los límites superior e inferior de los dos cuerpos de compresión. Para los manifolds con límite, se requiere que el límite sea un subconjunto de los límites inferiores de los cuerpos de compresión.
Ahora viene la observación clave de Scharlemann-Thompson: Supongamos que uno tiene componentes $W$ de $C_0$ y $X$ de $C_1$ tal que $W\cap X = F$ es una subsuperficie de $\Sigma_+$ . Supongamos también que existe un $1$ -manejo $e_1$ de $W$ tal que $e_1\cap F$ es disjunta de $e_2\cap F$ donde $e_2$ es un $2$ -manejo de $X$ . Entonces se pueden reordenar las asas de forma que $e_2$ se adjunta primero a $W-e_1$ y luego se adjunta $e_1$ a $W-e_1\cup e_2$ y, a continuación, adjunta $X-e_2$ . Esto divide dos cuerpos de compresión en cuatro cuerpos de compresión. Lo que ocurre en este proceso es que los componentes de las superficies en la nueva división generalizada de Heegaard tienen género no creciente. Definen una complejidad que es la suma de $2 genus-1$ para cada componente en un nivel determinado. Sin embargo, nos gustaría hacer un seguimiento de la complejidad de cada pieza, por lo que sólo hacemos un seguimiento de una tupla ordenada por lex de $\{2 genus(S)-1\}$ para cada componente $S\subset \Sigma_+$ . Observamos que esto no es creciente bajo esta operación de intercambio de órdenes de asas: puede aumentar el número de componentes, pero disminuye la lex-ordenación de la función de complejidad. No voy a repasar todos los casos, pero si $(e_1\cap F)\cup (e_2\cap F)$ no se separa en $F$ e interseca la misma componente de $F$ tal que $genus(F)=g$ entonces $F$ se sustituye por dos superficies de género $g-1$ . Esto tiene el efecto de disminuir el orden lex de la tupla ordenada de complejidades.
Desde la perspectiva de las funciones Morse, hemos elegido una función Morse $f'$ en $W\cup X$ para que $e_1$ y $e_2$ corresponden a puntos críticos de $f'$ de modo que el colector ascendente de $e_1$ es disjunta del colector descendente de $e_2$ . A continuación, una operación estándar de la teoría de Morse permite desplazar el nivel del punto crítico de índice 2 por debajo del nivel del punto crítico de índice 1. La ventaja de considerar aquí los cuerpos de compresión es que no hay que estar pendiente de todas las funciones Morse, sino que se pueden considerar todos los asideros a la vez. La filosofía de Scharlemann y Thompson es que uno debe "empujar hacia abajo" los puntos críticos de índice 2 lo más bajo posible, hasta los deslizamientos de asas, y uno debe "empujar hacia arriba" los puntos críticos de índice 1 lo más alto posible.
También hay que considerar qué ocurre si un $2$ -se adjunta a un $0$ -handle (o un $3$ -se adjunta a un $1$ -manija). Si suponemos que $M$ es irreducible, entonces adjuntando un 2-mango a una bola ( $0$ -) da una variedad con dos $S^2$ componentes límite. Dado que $M$ es irreducible, una de estas esferas limita una bola por un lado. Por lo tanto, podemos sustituir esa bola por una sola $0$ -manija. En el proceso, puede que nos hayamos deshecho de muchos componentes de $\Sigma_{\pm}$ que se encuentra dentro de la bola, por lo que no aumenta la complejidad (y, en particular, no aumenta el género de ningún componente de $\Sigma_+$ ), y disminuye el número total de puntos críticos.
Realizando estas operaciones tantas veces como sea posible, podemos suponer que hemos alcanzado un desdoblamiento de Heegaard generalizado de un 3manifold orientable irreducible no Haken $M$ con varias propiedades. No tenemos ninguna $2$ -manillas unidas a $0$ -manijas, o $3$ -maneja a $1$ -(y, por tanto, ningún componente de $\Sigma_-$ es una 2-esfera). Para cada componente $F$ de $\Sigma_+$ en los componentes adyacentes de $C_0$ y $C_1$ arriba y abajo, no tenemos ningún $2$ -manejo $e_2$ con intersección disjunta de $e_2\cap F$ con 1 asa $e_1\cap F$ abajo. Este desdoblamiento de Heegaard generalizado se denomina fuertemente irreducible por Casson-Gordon. Lo que Casson y Gordon demuestran es que para un desdoblamiento de Heegaard fuertemente irreducible, $\Sigma_-$ es una superficie incompresible. Por lo tanto, si $M$ es irreducible y no Haken (no contiene ninguna superficie incompresible), vemos que $\Sigma_-$ debe estar vacío. Pero esto implica que $\Sigma_+$ es un desdoblamiento de Heegaard de $M$ . Dado que nuestras operaciones nunca aumentan el género de un componente de $\Sigma_+$ vemos que debe haber existido un componente de un conjunto de niveles regulares de la función de Morse original que tuviera género $\geq g$ .
Negando la función de Morse, vemos que un handlebody es también una variedad con una función de Morse con un único punto crítico de índice $3$ y $g$ puntos críticos del índice $2$ .
