Imagínese que usted está en un viaje en las montañas, pero está un poco chalado y camina sólo recta de subida o de bajada. Si usted está en la cima de una montaña o en un valle, se puede caminar en cualquier dirección.
La pregunta es: ¿Puede llegar desde cualquier punto a cualquier otro punto?
En más el lenguaje matemático. Imagine que tiene una función suave ϕ:R2→R. Con el fin de descartar simple contador de ejemplos que requieren que el ϕ coercitivas o es cero en el infinito. Ahora se dan dos puntos A,B∈R2, se puede encontrar la pieza-sabio suave curva de γ(t) tal que γ′ tiene la misma u opuesta dirección como ∇ϕ(γ(t)), excepto en los puntos donde se ∇ϕ=0? Esto puede ser enunciada, después de reparametrization de γ|γ′⋅∇ϕ|=‖.
Antecedentes: yo estaba pensando acerca de esta ecuación diferencial para u f = g_i \partial_i u. usted puede encontrar solución local por la integración de la función de f a lo largo de curvas integrales de g_i. Pero cuando se puede pegamento conjunto de estas soluciones y conseguir un mundo continuo de la solución? Esto debería ser posible cuando usted puede conseguir desde el punto de A a punto de B por diferentes caminos, pero que integrar la misma cantidad de f. De manera natural la pregunta es, se puede obtener a partir de cualquier punto de A a cualquier punto de B?
He encontrado esta pregunta muy interesante, pero, sorprendentemente, no he podido encontrar un (simple) argumento de por qué debe ser verdadera.