Escalada extremistas

Question

Imagínese que usted está en un viaje en las montañas, pero está un poco chalado y camina sólo recta de subida o de bajada. Si usted está en la cima de una montaña o en un valle, se puede caminar en cualquier dirección.

La pregunta es: ¿Puede llegar desde cualquier punto a cualquier otro punto?

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En más el lenguaje matemático. Imagine que tiene una función suave $\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$. Con el fin de descartar simple contador de ejemplos que requieren que el $\phi$ coercitivas o es cero en el infinito. Ahora se dan dos puntos $A,B \in \mathbb{R}^2$, se puede encontrar la pieza-sabio suave curva de $\gamma(t)$ tal que $\gamma'$ tiene la misma u opuesta dirección como $\nabla \phi(\gamma(t))$, excepto en los puntos donde se $\nabla \phi = 0$? Esto puede ser enunciada, después de reparametrization de $\gamma$$|\gamma' \cdot \nabla \phi| = \|\gamma'\|\|\nabla \phi\|$.

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Antecedentes: yo estaba pensando acerca de esta ecuación diferencial para $u$ $$f = g_i \partial_i u.$$ usted puede encontrar solución local por la integración de la función de $f$ a lo largo de curvas integrales de $g_i$. Pero cuando se puede pegamento conjunto de estas soluciones y conseguir un mundo continuo de la solución? Esto debería ser posible cuando usted puede conseguir desde el punto de $A$ a punto de $B$ por diferentes caminos, pero que integrar la misma cantidad de $f$. De manera natural la pregunta es, se puede obtener a partir de cualquier punto de $A$ a cualquier punto de $B$?

He encontrado esta pregunta muy interesante, pero, sorprendentemente, no he podido encontrar un (simple) argumento de por qué debe ser verdadera.

Answer 1

Bueno, en general la respuesta es no. Esto dependerá de la regularidad de $\phi$ y en los puntos de $A$$B$. Su problema es un caso particular del siguiente problema:

Dado un continuo campo de vectores $X: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ y puntos de $A,B\in\mathbb{R}^2$, hay una curva de $\gamma: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2$ con $\gamma(0)=A$, $\gamma(1)=B$ y $\gamma'(t) = X(\gamma(t))$, para cada $t\in(0,1)$?

En su caso, $X$ es el gradiente de campo $X = \nabla \phi$.

Si dejamos caer la condición de $\gamma(1)=B$, entonces hemos de Cauchy-Peano Teorema. Pero no podemos asegurar que $\gamma(1) = B$ en general. Por ejemplo, consideremos el campo vectorial constante $X = (1,0)$ (aviso que $X$ es también un gradiente de campo) y deje $A=(0,0)$ $B=(0,1)$ de los puntos. Es fácil comprobar que no hay ninguna curva de $\gamma$ con $\gamma(0) = A$, $\gamma(1)=B$ y $\gamma'(t) = (1,0)$, para cada $t\in(0,1)$. Ahora este ejemplo no desaparecer en el infinito, pero te puedes hacer una idea de convencerse a sí mismo. El punto es que una vez que se tiene el campo $X$, la integral de las líneas será determinado. Así que si usted no tiene al menos $A$ $B$ sobre la misma integral de línea, usted no tendrá una solución que pasa a través de ellos.