Problema sugerido por la escala pitagórica musical

Question

Es el conjunto de fracciones $3^m/2^n$ denso en el intervalo [1,2]? Si esto puede ayudar: para cada m hay exactamente un n en el intervalo ( $n$ =parte entera de $m\gamma$ donde $\gamma=\log 3/\log 2$ )

Answer 1

Sí, el conjunto de tales fracciones es denso en $[1, 2]$ . La siguiente prueba es una elaboración de la respuesta de Henning Makholm.

1. Las fracciones $\dfrac{3^m}{2^n}$ siendo denso en $[1, 2]$ es equivalente al logaritmos de que esas fracciones sean densas en $[\log 1, \log 2]$ .
   Prueba : Esto se debe a que la inversa de la función logaritmo es continua: una vecindad de $x \in [1, 2]$ contiene la imagen de una vecindad de $\log x \in [\log 1, \log 2]$ .
   En concreto, si se quiere demostrar que para un determinado $x$ para cada $\epsilon$ existe $(m, n)$ tal que $|x - 3^m/2^n| < \epsilon$ basta con demostrar que para cada $\delta$ existe $(m, n)$ tal que $|\log x - \log(3^m/2^n)| < \delta$ ya que para $\delta$ (posiblemente en función de $x$ y $\epsilon$ ), tenemos $|\log x - \log(3^m/2^n)| < \delta \implies |x - 3^m/2^n| < \epsilon$ .

2. El logaritmo de $\dfrac{3^m}{2^n}$ es $m\log 3 - n\log 2$ . Queremos demostrar que el conjunto de tales números es denso $[0, \log 2]$ o, lo que es lo mismo, dividiendo todo por $\log 2$ (lo que de nuevo podemos hacer porque esta operación tiene una inversa continua, digamos), queremos demostrar que el conjunto de números de la forma $m\frac{\log 3}{\log 2} - n$ es denso en $[0, 1]$ .
   Como has observado, para cualquier número entero $m$ existe un único número entero $n = \left\lfloor \frac{m\log 3}{\log 2} \right\rfloor$ tal que $m \log 3 - n\log 2$ se encuentra en $[0, \log 2]$ o, lo que es lo mismo, tal que $m \frac{\log 3}{\log 2} - n$ se encuentra en $[0, 1]$ ). Así que $m \frac{\log 3}{\log 2} - n$ es precisamente la parte fraccionaria de $m\frac{\log 3}{\log 2}$ . La cuestión ahora es demostrar que las partes fraccionarias de $m\frac{\log 3}{\log 2}$ son densos en $[0, 1]$ .

3. Es bien sabido que si $\alpha$ es irracional, entonces el conjunto de partes fraccionarias de $m\alpha$ como $m$ se extiende sobre los números naturales, es denso en $[0, 1]$ . Esto se puede ver probado en este sitio, aquí , aquí , aquí e incluso en Wikipedia . Básicamente, se puede utilizar el principio de encasillamiento: si se quiere demostrar que la parte fraccionaria de algún $m\frac{\log 3}{\log 2}$ está a cierta distancia $\frac{1}{q}$ de algún número, considere más de $q$ tales números; dos de las partes fraccionarias se encuentran en el mismo $\frac{1}{q}$ "cubo"; considerando su diferencia y un múltiplo adecuado, puedes colocar la parte fraccionaria en el cubo que desees.

4. El número $\dfrac{\log 3}{\log 2}$ es irracional, debido a $\dfrac{\log 3}{\log 2} = \dfrac{p}{q}$ significa que $3^q = 2^p$ lo que es imposible para $q$ . Con esto concluye la prueba.

Answer 2

Sí.

El conjunto de múltiplos de $\log 3$ es denso en $\mathbb R$ modulo $\log 2$ porque $\frac{\log 3}{\log 2}$ es irracional. Si fuera racional habría una potencia no trivial de 2 que también fuera potencia de 3, lo que contradice el teorema fundamental de la aritmética.