Un amigo me hizo esta pregunta y me pareció intrigante: si te reparten una mano de 8 cartas de una baraja de tres barajadas juntas, incluidos los comodines, ¿cuál es la probabilidad de sacar al menos una pareja? Lo pensé un rato y llegué a la conclusión de que la mejor forma de hacerlo sería hallar la probabilidad de que te repartieran sin pares y restarlo de 1. Pero los comodines hacen que esta pregunta sea un poco más difícil. Me imaginé que dejaría $$c= \text{the probably of drawing an 8 card hand in which there are no pairs and none are jokers}$$ y que $$j = \text{the probability of drawing an 8 card hand in which there are no pairs and one joker}$$ de modo que mi cálculo final (creo) sería $$P=1-c-j.$$
Ahora a calcular $c$ Habría $\binom{13}{8}$ representando la elección de los 8 rangos diferentes, $4^8$ elegir el palo diferente para cada carta (o sería $12^8$ ya que hay $3$ 2 de corazones, $3$ reyes de bastos, etc.), y por último $\binom{162}{8}$ que representan las formas de robar una mano de 8 cartas de tres barajas estándar barajadas juntas. De ahí $$c= \frac{\binom{13}{8} 4^8}{\binom{162}{8}}.$$ Calculando ahora $j$ es donde tengo algunas preguntas. ¿Cómo expreso la posibilidad de que me toque un solo comodín? Estaba pensando en representar cada tirada de carta como una posibilidad en sí misma. Sin pérdida de generalidad, supongamos que la primera carta que saco es el comodín. Las probabilidades de que eso ocurra son $\frac{6}{162}=\frac{1}{27}$ . Pero luego tengo que asegurarme de que el resto de las tiradas de cartas no sean jokers ni pares. Esto es lo mejor que tengo es prácticamente lo mismo que encontrar $c$ pero con una carta menos. Es decir $\binom{13}{7}$ representa las diferentes formas de $7$ diferentes rangos, $4^7$ representa el palo de cada carta, y $\binom{161}{7}$ son las formas de tirar $7$ cartas de la baraja (menos un comodín sacado). Así que $$j= \frac{1}{27}\cdot \frac{\binom{13}{7} 4^7}{\binom{161}{7}}.$$ Calcular $j$ es dudoso para mí. Estaba pensando alternativamente en representar una fracción por cada tirada de carta. Es decir $$j = \frac{1}{27}\cdot \frac{156}{161} \cdot \frac{144}{160} \cdot\frac{132}{159} \cdot \frac{120}{158} \cdot \frac{108}{157} \cdot \frac{96}{156} \cdot \frac{84}{155}.$$ Cualquier ayuda o aclaración será muy apreciada. Mis amigos están actualmente en un acalorado debate al respecto :)
