Pregunta de demostración sobre primos y potencias

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente método...

P) Demuestre que el número $2^{64} -1$ no es un primo.

Trabajando:

Si $2^{64} -1$ es primo entonces sus únicos factores son 1 y él mismo $2^{64} -1 =(2^{32})^2 -1^2$ utilizando DOTS= $(2^{32}+1)(s^{32}-1)$ Así que $(2^{32}+1)$ y $(s^{32}-1)$ son factores de $2^{64} -1$ .

Entiendo hasta aquí, pero no lo siguiente:

Así que si $(2^{32}+1)$ y $(s^{32}-1)$ son factores, ¿por qué no es un primo, ya que técnicamente se divide por sí mismo? Si alguien puede mostrar cómo demostrar por qué esto no es un primo que sería muy apreciada.

Answer 1

$(2^{32}\pm1)$ es un número entero y divide a $2^{64}-1$ Por ej, $$\frac{2^{64}-1}{2^{32}-1}=\frac{(2^{32}+1)(2^{32}+1)}{2^{32}-1}=2^{32}+1$$ Hence divisible by $(2^{32}-1)$ We can give similar proof for $(2^{32}+1)$ Y el número primo se define como el número que sólo es divisible por 1 y por sí mismo.