Demostrar la equivalencia de a) $V$ es un punto; b) $\Gamma(V)\simeq k$ y c) dim $_k \Gamma(V)<\infty$

Question

Sea $k$ sea un campo arbitrario, y $V\subseteq \mathbb{A}^n(k)$ una variedad no vacía. Quiero demostrar que las siguientes son equivalentes:

a) $V$ es un punto;

b) $\Gamma(V)\simeq k$ ;

c) dim $_k \Gamma(V)<\infty$ .

¿Puede alguien ayudarme a demostrar que $c) \Rightarrow a)$ ? Además, ¿es mi prueba de $a) \Rightarrow b)$ ¿correcto?

Pruebo $a) \Rightarrow b)$ así: Para cualquier variedad $V$ y para cualquier $P\in V$ consideremos la función $$\begin{align*} \phi:\mathcal{O}_P(V)&\to k\\ f&\mapsto f(P). \end{align*}$$ Desde $k\subseteq \mathcal{O}_P(V)$ vemos que $\phi$ es suryectiva considerando las funciones constantes en $\mathcal{O}_P(V)$ . Por lo tanto, por el Primer Teorema de Isomorfismo, $$\mathcal{O}_P(V)/\text{ker}(\phi)\cong k. (1)$$ En realidad, ker $(\phi)=m_P(V)$ por definición, pero eso no es tan importante para nosotros aquí(?). Supongamos ahora que $V=P$ . Entonces, (por la Proposición 2 del capítulo 2.4 de Curvas Algebraicas de Fulton), $$\Gamma(P)=\Gamma(V)=\bigcup_{P\in V}\mathcal{O}_P(V)=\bigcup_{P\in P}\mathcal{O}_P(V)=\mathcal{O}_P(V)$$ donde he utilizado el hecho de que $\mathcal{O}_P(V)$ sólo se define para $P\in V$ . Por lo tanto $$\text{ker}(\phi)=\{ f\in \Gamma(P):f(P)=0 \}$$ es cero, ya que sólo las funciones en $I(P)$ desaparecen módulo $I(P)$ . Por lo tanto (1) da como resultado $$\Gamma(V)=\Gamma(P)/\{0\}=\mathcal{O}_P(V)/\text{ker}(\phi)\cong k.$$

Pruebo $b) \Rightarrow c)$ así: Desde $\Gamma(V)\simeq k$ tenemos que dim $_k \Gamma(V)=\text{dim}_k(k)=1<\infty$ .

Answer 1

Supongamos por contradicción que existe $y\in \Gamma(V)$ tal que $y\not \in k$ . Si $1,y,y^2\cdots$ son independientes, entonces la dimensión de $\Gamma(V)$ es $\infty$ . Si son dependientes sobre $k$ entonces para algún polinomio $f$ (se supone que es de menor grado) $$f(y)=0$$ idénticamente en $V$ . Y ahora

$$f(y)=\prod (y-\alpha_i)$$ donde $\alpha_i$ son algebraicas sobre $k$ . Desde $V$ es no vacío hay $P\in V$ y tenemos

$$\prod (y(P)-\alpha_i)=0$$ esto implica que para algunos $j$ , $$y(P)-\alpha_j=0,$$ así que $\alpha_j\in k$ y $f$ es reducible. Dado que $V$ es irreducible de los factores de $f$ , digamos $g$ satisfará $g(y)=0$ en $V$ y esto contradice la elección de $f$ .

De ello se deduce que $\Gamma(V)=k$ . Y así $I(V)$ es un ideal maximal por lo que $V$ es un punto.

Answer 2

Sí, su prueba es correcta.

(También probablemente su definición de una variedad es un conjunto algebraico irreducible, ya que la unión de dos puntos verifica $\dim_k(\Gamma(V)) = 2$ .)

Para su implicación, considere una variedad $V$ con dimensión estrictamente positiva y $x_1, \dots, x_r \in V$ distinto. Es fácil encontrar $f_1, \dots, f_r$ con $f_i$ con $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ . En particular $\dim_k \Gamma(V) \geq r$ y $r$ era arbitraria.

Editar : por si acaso, para encontrar el $f_i$ consideremos una forma lineal $\ell_{ij}$ tal que $\ell_{ij}(x_i) = 1$ y $\ell_{ij}(x_j) = 0$ . Ahora puede comprobar que $f_i(x) = \prod_{j \neq i}\ell_{ij}(x)$ verifique $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ .