Ley de Ohm: Modelo de Drude

Question

Desde hace mucho tiempo, pienso en la Modelo Drude derivación de la Ley de Ohm. Sé que una derivación rigurosa requiere un enfoque de Mecánica Cuántica. Sin embargo, el mero hecho de que el modelo de Drude produzca la ecuación correcta me parece sugerir que, al menos en parte, es correcto desde un punto de vista cualitativo. Me llama la atención una suposición en particular. Se supone que los electrones chocan con los protones. Sin embargo, no me parece posible que se produzca una colisión directa (del tipo en el que se suele pensar cuando se habla de colisiones). Y en estas colisiones electrón-protón, se supone que el momento de los electrones se restablece, y que el de los protones es fijo. La única forma que se me ocurre es que se produzcan ciertas interacciones electrostáticas que hagan que los protones ganen todo el momento y los electrones lo pierdan todo (para que se mantenga la conservación del momento). Y en tal escenario, los protones se moverán muy lentamente, teniendo así un efecto insignificante. Con el tiempo, a medida que se acumula el momento en el protón, la tasa de colisiones aumenta. Esto parece explicar la relación temperatura-resistencia al menos cualitativamente. Sin embargo, otra cosa que me llama la atención es cómo se libera la energía durante las "colisiones". He oído que las cargas en aceleración producen ondas EM, y por tanto encuentro razones para creer que así es como se libera la energía.

Esto también hace que la regla del bucle de Kirchhoff parezca razonable. Al principio no podía aceptarla porque parecía sugerir que una fuerza de "colisión" no conservativa se oponía al trabajo realizado por la fuerza eléctrica, y no se me ocurría qué podría causar tal fuerza a nivel microscópico. Pero, si se liberan ondas EM, esta imagen alternativa de pérdida de energía parece mucho más razonable; el trabajo realizado por la fuerza eléctrica se libera en forma de calor. Supongo que esto es "fricción" a escala macroscópica.

Sólo quiero saber si este mecanismo me parece razonable y si puedo aceptarlo hasta que aprenda mecánica cuántica y conozca la verdadera historia. ¿O es el Modelo Drude simplemente demasiado defectuoso para aceptarlo?

Además, quiero saber si el momento se transfiere realmente al protón.

Answer 1

Espera un momento. Alrededor de los protones hay una matriz de electrones. Estos son los electrones no "suficientemente fríos" para existir en la banda de conducción. Imagino que estos son los que colisionan con los electrones en el enfoque del modelo Drude. Cuanto más te acerques a esos electrones, más van a retroceder por el potencial de Coulomb. Además, imagino que aquí también podrían darse algunos problemas del principio de exclusión de Pauli, si los electrones intentan acercarse demasiado. En general, necesitas añadir los electrones internos a tu caso de estudio.

Curiosamente, tienes razón con esa dependencia de la temperatura de la tasa de colisión. Has descubierto por qué la mayoría de los superconductores se encuentran a temperaturas bajo cero.

Answer 2

El modelo Drude está bien para pensar en algunas cosas. (Todavía se enseña.) Los electrones chocan con los átomos. (o un poco más precisamente, los electrones exteriores de los átomos.) Puesto que ésta es una imagen clásica quizás esté bien tener una imagen clásica de los átomos. Imaginemos que son pequeñas esferas unidas a otros átomos por pequeños muelles. Cuando un electrón choca contra uno de ellos hace que el átomo vibre. (No hay suficiente energía para liberar el átomo de la red (todos los muelles) ni suficiente para moverse dentro de los electrones exteriores y chocar contra el núcleo). Ahora bien, la vibración del átomo es lo que llamaríamos calor. Cuanto más caliente está la sustancia, más vibran los átomos. ¿Ayuda esto? Desde el punto de vista de la mecánica cuántica tenemos una imagen algo diferente de cómo es la dispersión. (Pero quizá eso sea para otra pregunta).

Answer 3

Puedo responder que sí, que el momento se transfiere definitivamente a la red circundante, aunque no a través de una dispersión directa de electrones con protones. Esto es importante en la electrónica cada vez más pequeña. Cuando la sección transversal del alambre o del metal es extremadamente pequeña, las colisiones pueden ser suficientes para desplazar el metal y destrozar un circuito. A veces se utiliza el wolframio como material, simplemente por su gran masa y, por tanto, su capacidad para resistir el desplazamiento.

Una cosa que el modelo drude no predice es que los electrones colisionan con los defectos del cristal, en lugar de con la mayor parte del cristal. Los aumentos de temperatura aumentan el número de defectos del cristal, lo que provoca el aumento de la resistencia de los metales con la temperatura. Creo que el modelo drude podría ser exacto o correcto "en promedio" o en el límite clásico de la mecánica cuántica, pero no tengo las matemáticas para respaldar esta afirmación.

Para ser sinceros, la comprensión de cómo se propagan exactamente las señales eléctricas es un caos. Ciertos modelos predicen ciertos fenómenos, mientras que fallan a la hora de predecir otros. En las transmisiones por líneas eléctricas y los circuitos de alta frecuencia, se entiende que la energía se transporta mediante ondas electromagnéticas que se propagan. Esto explica que los electrones no tengan que recorrer toda la longitud de un cable para que las señales se transmitan. También explica la reflexión de las señales eléctricas en los desajustes de impedancia. Para explicar los dispositivos eléctricos lo suficientemente pequeños como para que intervenga la mecánica cuántica, resulta más útil hablar de los estados de energía permitidos de los electrones y de su distribución energética.

Dado que otros modelos también son muy confusos, creo que merece la pena aceptar el modelo drude a secas, como suficientemente bueno, aunque no sea necesariamente exacto.

Fuente/Rechazo de responsabilidad: La afirmación sobre la transferencia de momento en microelectrónica procede de un profesor con amplia experiencia en la industria. Mis conocimientos de física del estado sólido no son ni de lejos tan amplios como los de otras personas que escriben aquí. Es posible que los modelos mecánicos cuánticos de dispersión y reflexión resulten más satisfactorios y predictivos con un mejor conocimiento del material.

Answer 4

En el modelo drude, los electrones no colisionan con los protones. La mejor manera de entender esto es que el electrón colisiona con los fonones y con las impurezas. Pero el modelo correcto de Drude no implica la colisión con el núcleo.

La colisión da lugar a la excitación de fonones, y puede considerarse calor desde un punto de vista macroscópico.

El modelo de Drude sólo da la fórmula correcta para la conductividad, pero da otros resultados que son erróneos (capacidad calorífica). Y es sólo una coincidencia que la fórmula sea la misma que la de la mecánica cuántica.