¿Es la energía cinética una magnitud relativa? ¿Hará ecuaciones incoherentes al aplicarla a las ecuaciones de conservación de la energía?

Question

Si la velocidad es una magnitud relativa, ¿se producirán ecuaciones incoherentes al aplicarla a las ecuaciones de conservación de la energía?

Por ejemplo:

En el tren que circula a $V$ respecto al suelo, hay un objeto que se mueve a $v$ con respecto al marco en la misma dirección en la que se mueve el marco. El observador en el suelo calcula la energía cinética del objeto como $\frac{1}{2}m(v+V)^2$ . Sin embargo, otro observador en el marco calcula la energía como $\frac{1}{2}mv^2$ . Cuando cada una de estas ecuaciones se introduce en la conservación de la energía, se obtienen 2 resultados distintos (creo).

Answer 1

Sí, la energía cinética es una magnitud relativa. Como puedes suponer, esto significa que cuando utilizas la conservación de la energía, tienes que mantenerte dentro de un único marco de referencia; todo lo que la conservación de la energía te dice es que la cantidad de energía medida en cualquier un se mantiene a lo largo del tiempo. No se puede comparar de forma significativa la cantidad de energía medida en el fotograma A (por ejemplo, el suelo) con la cantidad de energía medida en el fotograma B (por ejemplo, el tren).

Sin embargo, puede convertir una cantidad de energía cinética medida en un fotograma a otro fotograma, si se conoce su velocidad relativa. Si trabajas con velocidades bajas, la forma más fácil (aproximada) de hacerlo es calcular la velocidad relativa, como has hecho. Así, si el observador del tren mide una energía cinética $K = \frac{1}{2}mv^2$ el observador en tierra medirá una energía cinética de $\frac{1}{2}m(v + V)^2$ o

$$K + \sqrt{2Km}V + \frac{1}{2}mV^2$$

(en una dimensión).

Si se alcanzan velocidades superiores, o si se desea una expresión exacta, habrá que utilizar la definición relativista de energía. En relatividad especial, la energía cinética viene dada por la diferencia entre la energía total y la "energía en reposo".

$$K = E - mc^2$$

Una forma de averiguar la regla de transformación es utilizar el hecho de que la energía total forma parte de un cuatro vector, junto con el momento relativista,

$$\begin{pmatrix}E/c \\ p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma_v mc \\ \gamma_v mv\end{pmatrix}$$

donde $\gamma_v = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . Este cuatro vector se transforma bajo la transformación de Lorentz al pasar de un sistema de referencia a otro,

$$\begin{pmatrix}E/c \\ p\end{pmatrix}_\text{ground} = \begin{pmatrix}\gamma & \gamma\beta \\ \gamma\beta & \gamma\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E/c \\ p\end{pmatrix}_\text{train}$$

(donde $\beta = V/c$ y $\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}$ ), por lo que la energía observada desde el suelo vendría dada por

$$E_\text{ground} = \gamma(E_\text{train} + \beta c p_\text{train})$$

La energía cinética se obtiene restando $mc^2$ de la energía total, por lo que obtendrías

$$K_\text{ground} = \gamma(E_\text{train} + \beta c p_\text{train}) - mc^2$$

lo que equivale a

$$K_\text{ground} = \gamma K_\text{train} + (\gamma - 1) mc^2 + \gamma\beta c p_\text{train}$$

donde $K$ es la energía cinética relativista y $p$ es el momento relativista.

Si lo quisieras sólo en términos de energía:

$$K_\text{ground} = \gamma K_\text{train} + (\gamma - 1) mc^2 + \gamma\beta\sqrt{K_\text{train}^2 + 2 mc^2 K_\text{train}}$$

Puede que empieces a notar una similitud con la expresión no relativista anterior ( $K + \sqrt{2Km}V + \frac{1}{2}mV^2$ ), y de hecho, si se introducen algunas aproximaciones que son válidas a bajas velocidades ( $\gamma \approx 1$ , $\gamma - 1 \approx V^2/c^2$ , $K_\text{train} \approx \frac{1}{2}mv^2 \ll mc^2$ ), recuperará exactamente esa expresión.

Answer 2

Debes permanecer en un marco de referencia cuando apliques la ley de conservación de la energía. Entonces todo irá bien.

Answer 3

Abordémoslo desde otro ángulo. Recordemos que la energía cinética, K, se define como la diferencia masa-energía entre la masa dinámica (en movimiento), m, y su masa en reposo, m0, de modo que K = (m-m0)c^2. Así que la pregunta se simplifica a "¿La masa medida en un marco de referencia es igual a la medida en otro marco de referencia?".

Veamos un ejemplo: El fotograma 1 es la Tierra. El fotograma 2 es una nave espacial con una velocidad, v, relativa a la Tierra. La nave espacial está inicialmente en reposo sobre la Tierra y contiene una masa de prueba de 1 kg. La nave espacial acelera desde el reposo hasta la velocidad v. Ambos observadores, en la Tierra y en el interior de la nave espacial, miden la masa de la masa de prueba.

Para el observador terrestre, el aumento de la masa de prueba sigue la famosa ecuación de Einstein de la Teoría Especial; m=m0/sqrt(1-v^2/c^2). El observador dentro de la nave espacial mide

1) Dentro de la nave espacial, el observador sabe que está acelerando para alejarse de la Tierra. Puede medir la aceleración y calcular que viaja a una velocidad, v, relativa a la Tierra. Sabiendo esto, puede calcular la masa de la masa de prueba utilizando la relación ST. La misma ecuación da el mismo resultado; la masa de prueba aumenta en la misma cantidad que la medida por el observador terrestre anterior.

2) Las trayectorias de una partícula acelerada son a veces función de su masa. Por ejemplo, dentro de un ciclotrón, la trayectoria de la partícula es función de su masa. Además, se sabe que la trayectoria cambia a medida que su masa aumenta con la velocidad. Dado que sólo puede haber una trayectoria independientemente del marco de referencia, todos los marcos de referencia deben concluir lógicamente que la masa de prueba tiene la misma masa que la medida en la Tierra.

Ambos marcos de referencia miden exactamente el mismo aumento de la masa de prueba. Es decir, la masa es invariante entre dos sistemas de referencia inerciales. Si la masa cambia en un sistema de referencia, también cambia en el otro. Por consiguiente, la energía cinética, al ser una función del aumento de la masa, no es relativa, sino que se conserva.