Reflexivo, simétrico y transitivo

Question

Defina una relación R en $\Bbb{Z}$ como sigue: $$(x, y) \in R \qquad \text{if and only if} \qquad x \cdot y > 0$$

• ¿Es R reflexiva?

• ¿R es simétrico?

• ¿R es transitivo?

Creo que no es reflexivo porque $x \cdot y \ngtr x \cdot y$ y no simétrica porque $0 \ngtr x \cdot y$ .

No estoy seguro de la transitividad.

Sírvase dar explicaciones.

Answer 1

Me temo que has malinterpretado la reflexividad y la simetría.

Reflexividad de $R$ significa que $\langle x,x\rangle\in R$ para cada $x\in\Bbb Z$ es decir, que $x^2>0$ para cada $x\in\Bbb Z$ . Esto es casi cierto: $x^2>0$ para cada $x\in\Bbb Z$ excepto $0$ . $0^2=0\not>0$ Así que $\langle 0,0\rangle\notin R$ y $R$ no es reflexivo.

Simetría de $R$ significa que si $\langle x,y\rangle\in R$ entonces $\langle y,x\rangle\in R$ también. Supongamos que $\langle x,y\rangle\in R$ Eso significa que $xy>0$ . Por supuesto $yx=xy$ Así que $yx>0$ y, por lo tanto $\langle y,x\rangle\in R$ . Así, $R$ es simétrico.

Transitividad de $R$ significa que si $\langle x,y\rangle\in R$ y $\langle y,z\rangle\in R$ entonces $\langle x,z\rangle\in R$ . Supongamos que $\langle x,y\rangle\in R$ y $\langle y,z\rangle\in R$ Eso significa que $xy>0$ y $yz>0$ . ¿Garantiza esto que $xz>0$ ? Sí. $R$ es transitiva. Hay al menos dos maneras de ver esto.

• Una es observar que si $xy>0$ y $yz>0$ entonces $(xy)(yz)>0$ es decir, $xzy^2>0$ . Sabemos que $y\ne 0$ porque si $y$ eran $0$ , $xy$ también sería $0$ y no lo es. Por lo tanto $y^2>0$ y podemos dividir la desigualdad $xzy^2>0$ por $y^2$ para encontrar que $xz>0$ .

• La otra es darse cuenta de que desde $xy>0$ , $x$ y $y$ deben tener el mismo signo algebraico: o ambos son positivos, o ambos son negativos. Análogamente, $yz>0$ implica que $y$ y $z$ tienen el mismo signo algebraico. Pero entonces $x$ y $z$ ambos tienen el mismo signo que $y$ por lo que deben tener el mismo signo entre sí; esto garantiza que su producto sea positivo, es decir, que $xz>0$ y, por tanto, que $\langle x,z\rangle\in R$ .