Espacios cíclicos ( $\Bbbk[x]$ -) y la evaluación "fiel" de los operadores polinómicos.

Question

Sea $V$ ser un $\Bbbk$ -espacio lineal y $\varphi\in \mathrm{End}_\Bbbk(V)$ . Un vector $v\in V$ es un $\varphi$ -generador cíclico de $V$ si el siguiente compuesto de $\Bbbk$ -es suryectiva.

$$\Bbbk[x]\overset{\operatorname{ev_\varphi}}{\longrightarrow}\mathrm{End}_\Bbbk(V)\overset{\operatorname{ev}_v}{\longrightarrow}V.$$

Si $v$ es un $\varphi$ -generador cíclico de $V$ entonces $\operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_v\circ \operatorname{ev}_\varphi)=\operatorname{Ker}\operatorname{ev}_\varphi$ .

Preguntas.

1. ¿Cuál es la intuición geométrica de la igualdad $\operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_v\circ \operatorname{ev}_\varphi)=\operatorname{Ker}\operatorname{ev}_\varphi$ ? Dice que la evaluación de polinomios en $\varphi$ en $v$ es "fiel", pero no sé qué visualizar.
2. ¿Cuál es un ejemplo instructivo en el que tenemos igualdad para algunos $v\in V$ que es no a $\varphi$ -¿generador cíclico? (Preferiblemente tal que $V$ no posee ningún $\varphi$ -generadores cíclicos).

Answer 1

1. No sé si esto es realmente geométrica, pero vamos a $M$ sea la matriz $\text{ev}_\phi(x)$ . Decir que $v$ es un generador cíclico dice que se puede llegar a cualquier otro vector en el espacio vectorial tomando combinaciones lineales finitas de la forma $$ a_0 v + a_1Mv + a_2M^2v + \ldots + a_nM^nv. $$ La igualdad de los núcleos, por otra parte, dice que si algún polinomio $$ b_0 + b_1 Mv + b_2M^2v + \ldots + b_mM^m v = 0, $$ entonces, de hecho $b_0 + \ldots + b_mM^m$ ya es la matriz cero.

Pensemos en lo que esto significa.

Si ignoramos el caso especial $v = 0$ (la igualdad de los núcleos se cumple si $M=0$ ), también podemos suponer que hemos elegido una base y $v$ es el primer vector de base $e_1$ . Entonces el aniquilador de $v$ es el conjunto de matrices cuya primera columna es todo $0$ s. La afirmación es, por tanto, que el único elemento de este espacio en el ámbito de las potencias de $M$ es la propia matriz cero.

Ahora la geometría. Imaginemos $\text{End}(V)$ como un espacio vectorial en sí mismo, de dimensión $n^2$ donde $n = \text{dim} V$ . Tenemos el aniquilador de $v$ en una mano, que es $n^2 - n$ -dimensional. También tenemos el espacio abarcado por las potencias de $M$ que es como máximo $n$ -por el teorema de Cayley-Hamilton.

La igualdad de los núcleos dice que estos espacios, cuyas dimensiones suman (como máximo) la dimensión del espacio ambiente, tienen intersección trivial en $\text{End}(V)$ es decir, sólo se cruzan en la matriz 0. Esta es claramente una condición necesaria para que abarquen $\text{End}(V)$ pero no podemos decir que sea suficiente porque no sabemos si el espacio que abarcan las potencias de $M$ es en realidad $n$ -dimensional. Si también lo supiéramos, tendríamos una condición necesaria y suficiente, es decir, con esta hipótesis adicional, $v$ es un vector cíclico si tenemos la igualdad de los núcleos.

2. Para ver un ejemplo de las diferencias, $\text{ev}_\phi$ podría ser el mapa cero, es decir, la matriz $M_\phi$ podría ser cero. Ahora no hay $\phi$ -generadores cíclicos (suponiendo que la dimensión de $V$ es mayor que uno) pero la igualdad de los núcleos se mantiene trivialmente.