¿Por qué es constante el ángulo de la estela de un pato?

Question

¿Por qué el ángulo de la estela de un pato es constante? ¿Y por qué son necesarias algunas condiciones en la profundidad del agua?

Me doy cuenta de que esta pregunta aparece en búsquedas de Google, pero no vi una buena discusión. Estaría bastante feliz con un enlace.

Editado para agregar: ¿Podría alguien decirme cómo están relacionadas las dos respuestas con más votos?

Answer 1

El wake ideal de Kelvin en bote wake ignora la tensión superficial, y asume ondas de agua profunda con un espectro amplio de frecuencias $\omega$ con la relación de dispersión $\omega^2=gk$, donde $g\approx 9.8 \frac{m}{s^2}$. El wake ideal de Kelvin también asume que el barco navega con una velocidad constante, y que las amplitudes de las olas de las ondas parciales son tan pequeñas que obedecen un principio de superposición lineal. El wake de Kelvin no describe la estrecha franja turbulenta detrás de un barco, ni las ondas de choque. El wake de Kelvin consiste en dos tipos de olas: transversales y divergentes. Hay dos ángulos característicos

$$\alpha\approx 19^{\circ} \qquad \mathrm{y} \qquad \beta\approx 35^{\circ},$$

correspondientes a

$$\tan(\alpha)= \frac{1}{2\sqrt{2}} \qquad \mathrm{y} \qquad \tan(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}},$$

o equivalente,

$$\sin(\alpha)= \frac{1}{3} \qquad \mathrm{y} \qquad \sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

En coordenadas polares $(r,\theta)$ de un sistema de coordenadas en movimiento, donde la posición del bote está en el origen, las ondas transversales están en la región $|\theta|\leq \beta$, y las ondas divergentes están en la región $\alpha\leq |\theta|\leq \beta$.

Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son constantes de al menos dos maneras: en primer lugar, no dependen de la distancia $r$ al barco. Esto se debe a que la velocidad de cada onda parcial (con frecuencia $\omega$) es independiente de la posición $(x,y)$. En segundo lugar, $\alpha$ y $\beta$ son, evidentemente, ángulos universales, independientes, por ejemplo, de $g$. Esto se explica en las referencias a continuación.

_{(fuente: <a href="https://www.wikiwaves.org/files/a/a1/Wake.avon.gorge.arp.750pix.jpg" rel="nofollow noreferrer">wikiwaves.org</a>)}

Referencias:

1. Howard Georgi, "La Física de las Ondas", Capítulo 14. (Agradecimiento: usuario1631.)

2. Colección de cursos en línea del MIT, ingeniería mecánica, propagación de ondas, apuntes de clase, otoño de 2006, Capítulo 4.7.

3. Wikiwaves.

Answer 2

El ángulo constante de estela es un fenómeno bien conocido para barcos y navíos y es conocido como la estela Kelvin. Como otros han insinuado, es el resultado de la relación única entre la velocidad de grupo y fase para las olas de gravedad (en aguas profundas). La mejor explicación detallada que he visto está en el libro de texto "La Física de las Olas" de Howard Georgi, que está disponible en línea de forma gratuita aquí: http://www.people.fas.harvard.edu/~hgeorgi/new.htm

Answer 3

En la física de partículas, usualmente resolvemos un problema similar con la radiación de Čerenkov cuyo ángulo está dado por $$\cos\theta = \frac{v_{\rm radiation}}{v_{\rm particle}}$$ Ten en cuenta que para que la radiación esté limitada por un ángulo específico, la partícula tiene que moverse más rápido que la radiación en el entorno dado.

Sin embargo, para el pato - asumiendo que se está moviendo en agua profunda - la velocidad de la "radiación" depende de la frecuencia. La velocidad de aleteo del pato también es variable. Sin embargo, estas dos incertidumbres se combinan de tal manera que el ángulo es universalmente de alrededor de 39 grados, independientemente de la velocidad del pato.

No obstante, el cálculo numérico del valor numérico preciso del ángulo es claramente difícil y depende de factores del mundo real. Se puede argumentar que la constancia del ángulo se mantiene mediante análisis dimensional y/o leyes de escalamiento. Las olas en agua profunda tienen velocidad de fase proporcional a la frecuencia, $$c_{\rm phase} \sim f$$ Esto fue previamente denotado como $v_{\rm radiation}$.

La velocidad del pato también es proporcional a la frecuencia de su aleteo; cada ciclo te lleva hasta cierta distancia (por una distancia fija $\delta x$), entonces $v_{\rm particle=duck} = \delta x\cdot f$. Por lo tanto, si calculas la relación de las velocidades, como en la fórmula de Čerenkov en la parte superior, obtendrás un ángulo constante porque la frecuencia $f$ se cancela.

Answer 4

EDICIÓN
Esta respuesta no es correcta y asumo mi error. Pasa a otra respuesta, por favor.
Debería haber sido más cauteloso antes de escribir, encontrar algunas referencias, pensar más, esperar y ver... Es un proceso de aprendizaje. 'Errare humanum est' y así, soy muy humano.
FIN_EDICIÓN

;-) - los patitos siguen a los padres y van a la misma velocidad. Los patos más viejos no disfrutan mucho haciendo carreras en el agua. Entonces, sospecho que no podremos ver una gran dispersión de la velocidad superficial de los patos si siempre reman al mismo ritmo.
impulso/la resistencia del agua = constante = área del pie del pato/volumen de agua desplazada
La característica del medio 'relación de dispersión' determina el valor de 'c'. Cualquier perturbación (aguas profundas) siempre se propaga a 'c'.