¿Por qué es constante el ángulo de la estela de un pato? ¿Y por qué son necesarias algunas condiciones sobre la profundidad del agua?
Me doy cuenta de que esta pregunta aparece en las búsquedas de Google, pero no he visto un buen debate. Voy a ser muy feliz con un enlace.
Editado para añadir:
¿Podría alguien decirme qué relación hay entre las dos respuestas más votadas?
La estela ideal del barco Kelvin ignora la tensión superficial, y supone olas de aguas profundas con un (en general) amplio espectro de frecuencias $\omega$ con relación de dispersión $\omega^2=gk$ donde $g\approx 9.8 \frac{m}{s^2}$ . La estela Kelvin ideal supone además que el buque navega con una velocidad constante y que las amplitudes de onda de las ondas parciales son tan pequeñas que obedecen a un principio de superposición lineal. La estela Kelvin no describe la estrecha banda turbulenta situada detrás de un buque, ni las ondas de choque. La estela Kelvin consta de dos tipos de ondas: transversal y divergente olas. Hay dos ángulos característicos
$$\alpha\approx 19^{\circ} \qquad \mathrm{and} \qquad \beta\approx 35^{\circ},$$
correspondiente a
$$\tan(\alpha)= \frac{1}{2\sqrt{2}} \qquad \mathrm{and} \qquad \tan(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}},$$
o equivalentemente,
$$\sin(\alpha)= \frac{1}{3} \qquad \mathrm{and} \qquad \sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
En coordenadas polares $(r,\theta)$ de un sistema de coordenadas en movimiento, donde la posición del barco está en el origen, las ondas transversales están en la región $|\theta|\leq \beta$ y las ondas divergentes están en la región $\alpha\leq |\theta|\leq \beta$ .
Los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son constantes al menos de dos maneras: En primer lugar, no dependen de la distancia $r$ a la nave. Esto se debe a que la velocidad de cada onda parcial (con frecuencia $\omega$ ) es independiente de la posición $(x,y)$ . En segundo lugar, $\alpha$ y $\beta$ son, evidentemente, ángulos universales, independientes de, por ejemplo, $g$ . Esto se explica en las referencias que figuran a continuación.
(fuente: <a href="https://www.wikiwaves.org/files/a/a1/Wake.avon.gorge.arp.750pix.jpg" rel="nofollow noreferrer">wikiwaves.org </a>)
Referencias:
1) Howard Georgi, "La física de las ondas" Capítulo 14. (Sugerencia:usuario1631.)
2) MIT on-line open course ware, mechanical engineering, wave propagation, lecture notes, fall 2006, Capítulo 4.7 .
3) Wikiwaves .
El ángulo de estela constante es un fenómeno bien conocido para barcos y buques y se conoce como estela Kelvin. Como ya se ha dicho, es el resultado de la relación única entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase de las ondas gravitatorias (en aguas profundas). La mejor explicación detallada que he visto se encuentra en el libro de texto "The Physics of Waves" (La física de las ondas) de Howard Georgi, que está disponible en línea de forma gratuita aquí: http://www.people.fas.harvard.edu/~hgeorgi/nuevo.htm
En física de partículas, solemos resolver un problema similar con el Radiación Čerenkov cuyo ángulo viene dado por $$ \cos\theta = \frac{v_{\rm radiation}}{v_{\rm particle}} $$ Nótese que para obtener la radiación limitada por un ángulo específico, la partícula tiene que ser más rápida que la radiación en el entorno dado.
Sin embargo, para el pato -suponiendo que se mueva en aguas profundas- la velocidad de la "radiación" depende de la frecuencia. La velocidad a la que rema el pato también es variable. Sin embargo, estas dos incertidumbres se combinan de tal manera que el ángulo es universalmente de 39 grados más o menos, independientemente de la velocidad del pato.
Sin embargo, el cálculo numérico del valor numérico exacto del ángulo es claramente difícil y depende de factores del mundo real. Se puede argumentar que la constancia del ángulo se mantiene mediante el análisis dimensional y/o las leyes de escala. Las olas de aguas profundas tienen velocidad de fase proporcional a la frecuencia, $$ c_{\rm phase} \sim f $$ Anteriormente se denominaba $v_{\rm radiation}$ .
La velocidad del pato también es proporcional a la frecuencia de su remada; cada ciclo le lleva tan lejos (por una distancia fija $\delta x$ ), por lo que $v_{\rm particle=duck} = \delta x\cdot f$ . Así que si calculas la relación de las velocidades, como en la fórmula de Čerenkov de la parte superior, obtienes un ángulo constante porque la frecuencia $f$ cancela.
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Esta respuesta no es correcta y asumo mi error. Ir a la otra respuesta, por favor.
Debería haber sido más prudente antes de escribir, buscar algunas referencias, pensar más, esperar y ver... Es un proceso de aprendizaje. Errare humanum est" y por eso soy muy humano.
FIN_EDICIÓN
;-) - los patos pequeños siguen a los padres y van a la misma velocidad. Los patos mayores no disfrutan mucho haciendo carreras en el agua. Entonces, sospecho que no podemos ver una gran dispersión de la velocidad superficial de los patos si siempre reman al mismo ritmo.
impulso/resistencia del agua = constante = superficie del pie de pato/volumen de agua desplazada
La característica del medio "relación de dispersión" determina el valor de "c". Cualquier perturbación (aguas profundas) se propaga siempre a 'c'.
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