Si $G$ y $H$ son grupos isomorfos y $K\leq G,$ entonces H tiene un subgrupo isomorfo a K

Question

Sé que $G$ y $H$ ser isomórficos significa que existe un isomorfismo y, por tanto, son del mismo orden. Parece perfectamente razonable que $H$ tiene un subgrupo isomorfo a $K$ pero no sé qué tengo que usar para mostrar esto.

Answer 1

Bueno, si $\phi:G\to H$ es un isomorfismo, entonces $\phi(K)$ es un subgrupo de $H$ y puesto que $\phi$ mapas $K$ de forma biyectiva sobre su imagen, por lo que $K\cong\phi(K)$ .

Answer 2

Sea $\phi:G\to H$ sea un isomorfismo entre $G$ y $H$ . Entonces $\phi$ es uno a uno y onto (y es un homomorfismo, por supuesto). El candidato obvio para un subgrupo de $H$ sería $\phi(K)$ .

$\phi(K)$ se encuentra en $H$ . Sólo queda ver que $\phi(K)$ es isomorfo a $K$ . El homomorfismo entre $K$ y $\phi(K)$ es claramente $\phi$ . Desde $\phi$ es uno a uno, se necesita $K$ a $\phi(K)$ de forma unívoca y es onto por definición. Por lo tanto $\phi(K)$ es su subgrupo isomorfo.

Answer 3

Si $H \cong G$ entonces existe un mapa $\phi: H \rightarrow G$ s.t. $\phi$ es un homomorfismo y es una biyección. Ahora demuestre que $\phi$ restringido a $K$ sigue siendo un homomorfismo y biyectivo.

Está claro que sigue siendo un homomorfismo, así que sólo tenemos que comprobar uno-a-uno y onto. Pero por definición $\phi$ es uno a uno y la restricción no afecta a esto. También sabemos que $\phi$ como una función sobre su imagen. Así que $\phi(K)$ es isomorfo a $K$ .

¿Esto ayuda?