Hilbert demostró que no hay un regular completo ( $C^k$ para un $k$ ) incrustación isométrica del plano hiperbólico en $\mathbb{R}^3$ . Por otra parte, la pseudoesfera es localmente isométrica al plano hiperbólico hasta sus cúspides (aunque tiene la topología de un cilindro). ¿Cuál es el mayor disco hiperbólico (con curvatura gaussiana -1) que se puede suavizar (o $C^2$ ) incrustada isométricamente en $\mathbb{R}^3$ ?
Edición: Esto no parece estar recibiendo muchas visitas, así que voy a golpear esto mediante la adición de un límite inferior bastante fácil de la pseudosfera. En primer lugar, la pseudoesfera está parametrizada por la región $$\mathrm{PS}=\{z \mid \mathrm{Im} z \ge 1,\; -\pi < Re z \le \}$$ en el modelo del semiplano superior de $H^2$ . Sea $z=x+iy$ de modo que los pares ordenados $(x,y) H^2$ cuando $y>0$ .
A continuación, se dibujan círculos euclidianos en el modelo del semiplano superior con centro $(x,y\cosh r)$ y radio $y\sinh r$ corresponden a círculos hiperbólicos con centro $(x,y)$ y radio $r$ . Puedo ajustar un círculo euclidiano de radio $$ centrado en $(0,1+)$ en la región $\mathrm{PS}$ . Esto corresponde a un disco hiperbólico de radio $\operatorname{arctanh}(/(1+)) \sim 0.993$ .
Seguro que se puede hacer mejor.
Edit 2: corregidos errores en las fórmulas de arriba (no afectó a la encuadernación). Aquí hay algunas fotos:
