La respuesta a tu pregunta se encuentra en el artículo de Maria Hameen-Anttila, "Nominalistic Ordinals, Recursion on Higher Types, and Finitism", Boletín de Lógica Simbólica ,25(1), 101-124 (2019). Dado que la versión a la que tengo acceso libre inmediato es la versión del manuscrito del autor aceptado que se encuentra en el portal de investigación de la Universidad de Helsinki (www.researchportal.helsinki.fi/publications/nominalistic-ordinals-recursion-on-higher-types-and-finitism), utilizaré la paginación de esa versión en lugar de la paginación de la versión publicada cuando me refiera a las páginas en las que se puede encontrar la respuesta a su pregunta.
Para empezar, la respuesta a su pregunta puede encontrarse en las páginas 4-14 (estas páginas también proporcionan el contexto histórico relativo a la respuesta; la respuesta real puede encontrarse en las páginas 12-14 del manuscrito del autor aceptado en la Web). Espero que esto le sirva de ayuda.
En cuanto a la afirmación "A menudo me han dicho que $PA$ no puede demostrar la validez de la inducción hasta $\epsilon_0$ que se me ha expresado aproximadamente como la afirmación de que $\epsilon_0$ está bien ordenada", podrías considerar la agradable respuesta de Noah Schweber a mi pregunta de mathoverflow, "¿Qué significa 'casi se puede demostrar en $PA$ ' significan respecto al Teorema 2 del artículo expositivo de Timothy Chow, 'La consistencia de la aritmética' ":
Tenemos un enunciado aritmético de la forma
$(*)$ $\forall$$ x $$\varphi$ ( $x$ )
que aunque no es demostrable en $PA$ tiene la propiedad de que para cada número natural $n$ la instancia
$(*)_{n}$ $\varphi$ ( $\mathfrak n$ )
es demostrable en $PA$ (donde " $\mathfrak n$ "es el número correspondiente al número natural $n$ )...
... Nótese que también tenemos el mismo fenómeno con respecto a la consistencia: para cada número natural $n$ , $PA$ demuestra que "no hay $PA$ -prueba de '0=1' de longitud $\lt$ $n$ ." Así que $PA$ casi demuestra $Con$ ( $PA$ ) .
Cabe señalar que este mismo fenómeno es válido para definir $\epsilon_0$ también. Como es sabido, $\epsilon_0$ puede definirse del siguiente modo:
{ $\omega$ , $\omega^{\omega}$ , $\omega^{\omega^{\omega}}$ ,...} = $\epsilon_0$ para un número contablemente infinito de iteraciones de $\omega^{\alpha}$ .
Puesto que se sabe que $PA$ demuestra que cada uno de los elementos de $\epsilon_0$ está bien ordenado, pero no prueba que el conjunto de ordinales que es él mismo $\epsilon_0$ está bien ordenado, se puede ver que el conjunto antes mencionado es bien ordenada ya que cada uno de sus miembros está bien ordenado. Aquí tenemos un primer ejemplo concreto del Primer Teorema de Incompletitud de Godel antes de las secuencias de Paris-Harrington o Goodstein. Espero que esto aclare algo las cosas.
