Calcular la longitud de arco de la curva $y = \sqrt{x-x^2}+\sin^{-1}(\sqrt{x})$

Question

Calcular la longitud de arco de la curva $y = \sqrt{x-x^2}+\sin^{-1}(\sqrt{x})$ de para $0 \leq x \leq 1$

Este problema es bastante brutal. Agradecería que alguien me llevara de la mano en esta integral y me expusiera realmente los detalles.... ¡¡¡He estado luchando con ella desde hace un tiempo y no puedo bajarlo!!!

Básicamente lo sabemos: $$L = \int_0^1 \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}$$

Dónde $$\frac{dy}{dx}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}$$

Si alguien me puede ayudar a simplificar e integrar esto seria genial.... ¡¡¡Muchas gracias!!!

Answer 1

Estás prácticamente allí, sólo tienes que simplificar donde lo dejaste: $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}=\frac{2-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$$ Por lo tanto, $$L = \int_0^1 \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2} \; \mathrm{d}x= \int_0^1 \sqrt{\frac{1}{x}} \; \mathrm{d}x=2\sqrt{x} \bigg \rvert_0^1 = \boxed{2}$$

Answer 2

$\frac{dy}{dx}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}\sqrt{x}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{1-x}\sqrt x}=\sqrt {x^{-1}-1}$