Demostrar que los conjuntos absorbentes inducen cuasinormas

Question

Llevo tanto tiempo intentando demostrar esto que se lo planteo a Math.SE: Sea D un subconjunto acotado (con respecto, por ejemplo, a la norma máxima) y absorbente de un espacio vectorial finito-dimensional V sobre un campo ordenado F y $0\in D$ . Es decir $$\forall x\in V\exists r\in F\;\forall \alpha\in F:|\alpha|\ge r\Rightarrow x\in \alpha D$$ con $\alpha D:=\{\alpha d\mid d\in D\}$ . (En otras palabras, esto significa que D puede "inflarse" para contener todo el espacio vectorial)

Intento demostrar que D puede utilizarse para definir una cuasinorma mediante $\|x\|:=\inf\{\alpha\mid x\in\alpha D\}$

Sin embargo, estoy atascado en la prueba, hay algo obvio que estoy pasando por alto. La homogeneidad positiva se deduce directamente de la definición, pero no sé cómo demostrar la versión (débil) de la ecuación del triángulo: $$\exists \kappa\forall a,b\in V:\;\|a+b\|\le\kappa(|a\|+\|b\|)$$ Puede desglosarse fácilmente en $$\exists \kappa\forall a,b\in D:\;\|a+b\|\le\kappa(|a\|+\|b\|)$$ e incluso a $$\exists \kappa\forall a,b\in \partial D:\;\|a+b\|\le\kappa(|a\|+\|b\|)$$ (ya que D tiene forma de estrella).

Así que, básicamente, tengo que demostrar que $\sup_{c=a+b}\{\|c\|\}<\infty$ . En $\mathbb{R}^2$ esto es fácil, pero me gustaría demostrarlo en espacios vectoriales generales.

Una idea era demostrar que $\partial D$ es siempre al menos $\varepsilon>0$ lejos del origen (ya que D está absorbiendo); Sin embargo, no he podido hacer que este argumento sea riguroso. El problema es que la curva frontera podría converger hacia el origen. Necesito demostrar que esto es lo único que violaría la ecuación del triángulo y que viola la absorbencia de D.

EDITAR : Esto es indemostrable. Hoy, he descubierto el funcional de Minkowski para $D\subseteq X$ donde X es un espacio vectorial topológico. $$p(x)=\inf\{\lambda\in F\mid x\in \lambda D\}$$ que está bien definido si D es absorbente. Si D está acotado en X (que está bien definido porque X es un vectorespacio topológico), y si existe una vecindad abierta $U\subset D$ de 0, define una cuasinorma. Esto se puede demostrar con bastante facilidad. Gracias de todos modos.

Answer 1

No puedes tener éxito. Deja que $V=\ell^2$ sea el espacio de secuencias cuadradas sumables y $$D=\left\{x\colon \lVert x\rVert_2<1\land\forall n\colon \left(|x_n|<\frac1n\lor \exists m\ne n\colon x_m\ne0\right)\right\}.$$ Entonces $D$ es absorbente: Si $x$ tiene como máximo un componente distinto de cero, en el índice $n$ digamos, entonces $x\in \alpha D$ si $\alpha \ge n|x_n|$ . Y en todos los demás casos $x\in \alpha D$ si $\alpha>\lVert x\rVert_2$ . Pero no $\kappa$ como usted desea existe: Considere algunos $n\in\mathbb N$ . Sea $a= e_n+ e_1$ , $b= e_n- e_1$ combinación adecuada de la primera y la $n$ vector de base estándar. Entonces $\lVert a\rVert = \lVert b\rVert =\sqrt 2$ pero $\lVert a+b\rVert = \lVert 2 e_n\rVert =2n$ . Por lo tanto, necesitamos $\kappa(\sqrt 2+\sqrt 2)\ge 2n$ . Pero esto da una contradicción si elegimos $n>\frac\kappa{\sqrt 2}$ .