¿Por qué unas veces nos preocupamos por el origen de los vectores y otras no? y ¿cuántos tipos de vectores existen exactamente?

Question

Cuando hice álgebra lineal en el instituto, no tenía mucha importancia de dónde procedían los vectores y para mí es un concepto realmente difícil de entender. Es como si no importa donde los dos vectores se pivotan en el espacio 3-d, su producto escalar es invariante.

Por ejemplo, ni siquiera definimos un origen cuando hablamos de vectores... es como si flotaran libremente en el espacio. ¿Por qué podemos hacer esto, es decir, por qué no necesitamos considerar el origen cuando hablamos de vectores?

¿Está el vector unido a algún objeto? como si no importara donde está la 'cola'.

Edición: esta pregunta surgió principalmente cuando estaba aprendiendo sobre el trazado de campos vectoriales, en que, tuve que asociar cada punto con un vector por lo que definitivamente aquí el origen de los vectores es relevante, pero no en el caso anterior, ¿por qué?

una parte adicional a la pregunta:

También me había encontrado con este problema cuando estudiaba física,

Ver: https://physics.stackexchange.com/questions/545841/is-angular-momentum-conserved-in-all-possible-axis-of-rotation-give-no-external

La persona refiere que el producto cruzado da un vector axial. Así que me pregunto cuántos tipos de vectores existen?

¿Significa esto que el "vector" normal que hemos conocido tiene muchas "formas primas"? ¿Cuántos tipos de vectores existen? ¿Cómo distinguimos entre estos tipos de vectores?

Resumen: ¿Por qué a veces nos importa de dónde es el pivote de los vectores y a veces no? y ¿cuántos tipos de vectores hay exactamente?

Answer 1

Los vectores se definen por su magnitud y dirección, no por sus puntos inicial y final.

Por ello, el vector que comienza en $(2,1)$ y termina en $(5,1)$ es el mismo vector que uno que empieza en $(0,0)$ y termina en $(3,4)$ . Ambos son $\langle3,4\rangle$ o $\binom 34$ dependiendo de la notación que prefieras o de la que utilice tu libro. Representan un desplazamiento de $3$ unidades en el $x$ dirección y $4$ unidades en el $y$ dirección.

Su magnitud es $5$ . Si quieres, puedes utilizar la trigonometría para averiguar el ángulo que forman con la $x$ eje.

Por eso, cuando en una pregunta se pide el ángulo entre dos vectores, me resulta útil imaginar que ambos parten del origen. Después de todo, mover la cola de un vector al origen no cambia el vector.

Answer 2

En mi mente, defino un triple ordenado como una lista de tres números reales $(x,y,z)$ . Hay dos formas de visualizar una triple ordenada: la "imagen puntual" y la "imagen vectorial".

En la imagen puntual, el triple $(x,y,z)$ se visualiza dibujando el punto en el espacio tridimensional cuyas coordenadas son $(x,y,z)$ . Así que en esta imagen, un triple ordenado especifica una ubicación en el espacio.

En la imagen vectorial, para visualizar $(x,y,z)$ seleccione primero un punto $P$ en el espacio tridimensional, arbitrariamente. A partir de $P$ , te mueves una distancia $x$ en la dirección del $x$ -y una distancia $y$ en la dirección del $y$ -y una distancia $z$ en la dirección del $z$ -eje. El punto donde termina se llama $Q$ . A continuación, dibuja una flecha desde $P$ a $Q$ . En esta imagen, un triple ordenado especifica el desplazamiento de un lugar a otro en el espacio. Si hubieras elegido un punto de partida diferente $P$ entonces habrías dibujado una flecha diferente, pero esa flecha diferente tendría al menos la misma magnitud y dirección que la primera flecha, y sería una forma igualmente válida de visualizar el triple ordenado $(x,y,z)$ .

Cuando quiero sugerir a alguien que visualice un triple ordenado utilizando la imagen del punto, llamo "punto" al triple ordenado. Cuando quiero sugerir a alguien que visualice un triple ordenado utilizando la imagen vectorial, llamo "vector" al triple ordenado. En cualquier caso, tanto los puntos como los vectores son triplas ordenadas de números reales. La única diferencia es lo que visualizamos cuando pensamos en ellos. (No soy perfectamente coherente con esta terminología, pero normalmente intento serlo).

(La imagen vectorial también sugiere nuevas operaciones a realizar sobre las triplas ordenadas que no sugiere la imagen puntual. Por ejemplo, no tiene sentido sumar localizaciones en el espacio, pero sí sumar desplazamientos).

Answer 3

Por tanto, los vectores son libres de moverse en el espacio.

Los vectores son muy diferentes de los puntos: Con los puntos nos importa su posición en el plano/espacio.

Si tenemos el punto $A = (1,2)$ y $B = (3,2)$ entonces $A \neq B$ .

Pero cuando usamos vectores para estudiar algo, normalmente sólo queremos una escena de dirección, por lo tanto no importa dónde está la cola, sólo importa dónde apunta y su magnitud (longitud).

Si $\bar A$ es el vector de $(1,1)$ a $(2,2)$ (o $\bar A = (1,1)$ ), y si $\bar B$ es el vector que apunta desde $(3,3)$ a $(4,4)$ (o $\bar B = (1,1)$ ) entonces $\bar A = \bar B$ porque con los vectores sólo nos importa la dirección y la magnitud (longitud del vector).

Dependiendo de lo que intentes estudiar, deberás elegir qué herramienta matemática es la mejor para ayudarte, y si sólo te importan cosas como la dirección y no mucho la posición específica, los vectores son el camino a seguir.

Answer 4

En álgebra lineal, todas las operaciones están bien definidas, como el producto punto. La razón es que a pesar de que los vectores parecen ser objetos flotantes (generalmente tratados en física introductoria y por lo que he entendido de la pregunta que estás haciendo desde esta perspectiva) pero cuando se trata de las operaciones que siempre están utilizando tal orden invariante y el proceso. Para explicarlo con el producto punto, supongamos que tenemos dos vectores y queremos hacer el producto punto de ellos, entonces mirando la definición de producto punto se obtiene un proceso, aunque dos vectores estén completamente separados en un espacio vectorial, que combina los vectores da como resultado lo que se espera pero en la perspectiva física el producto punto de dos vectores que no se cruzan por la cabeza o la cola también tienen el mismo producto punto que en la perspectiva matemática porque en la física muchas fuerzas existentes en la naturaleza tienen la característica de transferirse con la misma dirección a través de un cuerpo rígido en un sistema apropiado. También en la física introductoria estas condiciones se cumplen debido a la complejidad de la situación inversa.