Explicación del método del multiplicador de Lagrange

Question

Estoy tratando de entender una explicación del método del multiplicador de Lagrange en $2D$ o $3D$ . He aquí un extracto de mi libro de texto de matemáticas aplicadas.

Supongamos que encontramos los valores extremos de $f(x,y)$ sujeto a la restricción $g(x,y) = c$ donde $c$ es una constante. Si $M$ es un valor extremo de $f$ en $(x_0,y_0)$ entonces la curva de nivel $f(x,y) = M$ y $g(x,y) = c$ comparten la misma línea tangente en $(x_0,y_0)$ . (Y luego sigue la explicación...)

La pregunta es, ¿por qué exactamente la curva de nivel $f(x,y) = M$ y $g(x,y) = c$ comparten la misma línea tangente en $(x_0,y_0)$ ? Cuando hago un dibujo, parece que sí, pero me gustaría una explicación más concreta.

Answer 1

En optimización multivariante, la condición de primer orden dice que todas las derivadas direccionales "admisibles" de $f$ debe ser cero. "Admisible" significa que estas derivadas direccionales se toman a lo largo de las direcciones que se pueden mover preservando las restricciones. Así que aquí, usted puede mover tangente a la curva de nivel de $g$ . La razón de la condición de primer orden es que si no fuera cierta, entonces podrías moverte una pequeña distancia $d$ en una dirección admisible $u$ y luego $f$ cambiaría en aproximadamente $(\nabla f \cdot u) d$ como sabes de los derivados direccionales.

Ahora la tangente de la curva de nivel de $g$ es perpendicular al gradiente de $g$ . Esto se debe a que, si no lo fuera, entonces usted podría moverse una pequeña distancia $d$ a lo largo de la tangente y el valor de $g$ cambiaría aproximadamente en $(\nabla g \cdot T) d$ . Así que las direcciones en las que puedes moverte son todas perpendiculares al gradiente de $g$ . Esta es la única forma en que están limitados.

Así que queremos $\nabla f$ sea perpendicular a todos los vectores perpendiculares a $\nabla g$ . Esto sólo puede ocurrir si $\nabla f$ es paralelo a $\nabla g$ que es la forma habitual de enunciar la condición del multiplicador de Lagrange.

En realidad el panorama es un poco más complicado, porque no podemos en realidad desplazarse a lo largo de la curva de nivel saliendo en la dirección de la tangente. Tendríamos que ir en la dirección de la tangente y luego volver en la dirección de la normal. La idea para resolver este problema es que si recorres una distancia lo suficientemente corta a lo largo de la tangente, entonces la distancia que tienes que recorrer para volver a lo largo de la normal es mucho menor que la distancia que recorriste a lo largo de la tangente, de modo que si $\nabla f$ no es paralelo a $\nabla g$ entonces el cambio en $f$ cuando te moviste en la dirección normal es mucho menor que el cambio cuando te moviste en la dirección tangente. En concreto, el cambio total y el cambio en la dirección tangente acabarán teniendo el mismo signo.