Pregunta sobre funciones continuas y límites

Question

Publiqué un hilo sobre cierto problema en el que estaba trabajando y surgió esta laguna en mis conocimientos, considere por ejemplo la función $g: (0,\infty)\to \mathbb R $ para lo cual $g\left(x\right)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)<0$ para cada $0<x1$ y $g(x)$ es continua en $1$ .

Así que la forma en que definimos la continuidad es

".. para cada $ > 0$ existe un $ > 0$ tal que para cada $|x a| < $ tenemos $| f(x) f(a)| < $ ."

Por tanto, cuando calculo el límite de la expresión anterior cuando x tiende a 1, y llego a que $g(x)^2$ 0, ¿cómo puedo justificar el uso de la desigualdad dada anteriormente? porque x PUEDE ser 1, y si f(1) es realmente 1, no no tiende a 1 entonces no puedo usar la desigualdad? ¿No es correcta mi forma de verlo? También pensé en una posibilidad, que como sólo calculo el límite y no la expresión real, ¡obtendría un límite positivo para una función que no puede ser positiva! así que si asumo que f(1) no es 0, llegaría a una contradicción.. Pero aún no me aclaro con los límites de funciones continuas y la diferencia entre el valor del límite y la expresión en el punto al que tiende x..

Answer 1

$g$ es continua en $1$ . Por la continuidad de $x\mapsto \frac 1x$ , $g\left(\frac 1x\right)$ también es continua en $1$ . Y por la continuidad de la multiplicación, también lo es su producto $g(x)g\left(\frac 1x\right)$ . Así que $\lim_{x \to 1} g(x)g\left(\frac 1x\right) = g^2(1)$ .

Pero si una función toma sus valores en un conjunto cerrado, cualquier límite convergente de la función debe estar también en ese conjunto cerrado. $(-\infty, 0]$ está cerrado, así que por su desigualdad, $g^2(1) \le 0$ . Como el cuadrado de un número real $g^2(1) \ge 0$ . Así que la única posibilidad es $g(1) = 0$ .