He aquí un ejemplo de por qué el casco convexo (no el "casco convexo cerrado") de un conjunto compacto no tiene por qué ser compacto. Por lo tanto, esto no contribuye a la pregunta original, pero está bastante cerca, así que lo dejaré aquí (si sb. quiere que borre esto, también podría hacerlo).
Considere el espacio $X=[0;1]^\mathbb{N}=Map(\mathbb{N},[0;1])$ equipado con la métrica $d(f,g):=\sqrt{\sum_{n\in \mathbb{N}} (\frac{|f(n)-g(n)|}{2^n})^2}$ . Yo consideraría este espacio como $\prod_{i\in\mathbb{N}}[0;2^{-i}]$ . Me gustaría reclamar lo siguiente:
1) La topología inducida por esta métrica es la topología producto.
2) Las combinaciones convexas se toman puntualmente, es decir, la geodésica de $f$ a $g$ es $t\mapsto(1-t)f+tg$ (no parametrizado por la longitud del arco).
3) $X$ es un espacio CAT(0) localmente compacto y completo.
4) El subconjunto $K=Map(\mathbb{N},\{ 0;1\})$ es compacta (Tychonoff). Especialmente la topología del producto coincide con la topología del subespacio.
5) Su casco convexo viene dado por el conjunto de todos los mapas $f:\mathbb{N}\rightarrow [0;1]$ tal que Im $(f)$ es finito. (Es evidente que este conjunto es cerrado bajo combinaciones convexas, por lo que queda por demostrar, que cada elemento de este conjunto se puede escribir como una combinación convexa de elementos de $K$ ).
6) Por lo tanto su casco convexo no es cerrado y no puede ser compacto (como $X$ es Hausdorff).
