Se me ocurre que una región afín en $X$ construido a partir de $K$ siempre es compacto, creo. Cualquier medida $\mu$ en $K$ tiene un centro de gravedad $c$ definido como el mínimo $x$ del valor medio de $d(x,y)^2$ con $y$ muestreado de $\mu$ . El conjunto de medidas de Borel sobre $K$ es compacto por el teorema de Banach-Alaoglu en la topología débil-*, y mi intuición es que la posición del centro de gravedad es continua con respecto a esta topología. (Si esta intuición es errónea, entonces el resto de este post no es tan interesante). Esto no es lo mismo que el casco convexo, pero parece interesante como una posible aproximación.
Cualquier punto del casco convexo estricto de $K$ (no su cierre) se alcanza mediante una secuencia de operaciones binarias sobre pares de puntos de una lista finita. La lista inicial de puntos está en $K$ y, a continuación, determinados pares $x$ y $y$ hacer nuevos puntos $z$ . Por definición, $z$ está a una distancia $p$ en el camino de $x$ a $y$ . Esta descripción induce una medida sobre el conjunto inicial de puntos. Por ejemplo, supongamos que empezamos con $x_1, x_2, x_3, x_4 \in K$ entonces coge el punto $y_1$ es decir $p_1$ a lo largo de la geodésica desde $x_1$ a $x_2$ y el punto $y_2$ es decir $p_2$ a lo largo de la geodésica desde $x_3$ a $x_4$ . Por último, el punto $z$ es $q$ en el camino de $y_1$ a $y_2$ . La medida inducida sobre la lista original de puntos es entonces $qp_1[x_1]+q(1-p_1)[x_2]+(1-q)p_2[x_3]+(1-q)(1-p_2)[x_4]$ . Esta medida tiene un centro de gravedad $c$ y me pregunto a qué distancia $c$ puede ser de $z$ . Si $X$ es un espacio vectorial, entonces $c=z$ pero, en general, no son iguales.
Existe una generalización mutua de los puntos del casco convexo y los centros de gravedad. Partiendo de una lista base de puntos $x_1,\ldots,x_n \in K$ hay un $k$ -operación con pesos que sustituye a $k$ de los puntos con su centro de gravedad. Si estas operaciones se repiten en el patrón de un árbol ponderado $T$ entonces el cálculo produce un punto $z$ que podría estar en el casco convexo (si $T$ es binario), o podría ser un centro de gravedad (si $T$ es un arbusto), o podrían ser varias cosas intermedias. Supongamos que $T$ es un árbol complicado. Podemos aplanarlo para convertirlo en un arbusto $T_1$ que da lugar a un punto $z_1$ . A continuación, de varias maneras podemos unflatten $T_1$ paso a paso, para acercarse $T = T_n$ . Asumiendo el primer párrafo, los puntos que pueden ser alcanzados por árboles de profundidad acotada son un conjunto compacto. No sé lo suficiente sobre $\text{CAT}(0)$ espacios para sacar conclusiones, pero parece posible que los puntos $z_k$ acercarse al punto final $z = z_n$ lo suficientemente rápido como para establecer la compacidad. O si esto no sucede, entonces eso podría ser una prueba en contra de la compacidad del casco convexo.
(Para que quede claro, esto es sólo una propuesta y no una solución).
Aquí hay otra forma de enunciar la propuesta sin ningún uso directo del centro de masa, aunque sigue siendo sugerido por el hecho de que el conjunto de centros de masa es compacto.
Para cualquier $0 \le p \le 1$ existe una operación binaria $x \heartsuit_p y$ sobre puntos en $X$ . Por definición, $x \heartsuit_p y$ es el punto $z$ tal que $d(x,z) = pd(x,y)$ y $d(y,z) = (1-p)d(x,y)$ . Sea $x_1,\ldots,x_n$ sea una lista de puntos en $K$ posiblemente con repeticiones. Entonces cada palabra $w$ en los puntos de $K$ escrito en esta notación define un punto $z \in X$ . También podemos calcular la misma palabra en los vértices de un simplex euclidiano $\Delta_{n-1}$ . Obtenemos así un mapa continuo $f_T:\Delta_{n-1} \to X$ que sólo depende de la estructura del árbol $T$ de $w$ . ¿A qué distancia están estos mapas entre sí para dos árboles diferentes? (Hay $(2n-3)!!$ árboles distintos). Si se tiene suficiente control sobre la distancia, entonces el casco convexo cerrado de $K$ es compacta. Más concretamente, la esperanza es encontrar una compactificación del espacio de palabras tal que el mapa de evaluación se extienda continuamente.
Por ejemplo, si $n=3$ podemos definir tres centros de árbol de tres puntos $x,y,z$ a saber $x \heartsuit_{1/3} (y \heartsuit_{1/2} z)$ y sus permutaciones cíclicas. ¿A qué distancia pueden estar en un $\text{CAT}(0)$ ¿Espacio? Por ejemplo, en un árbol, que es una especie de opuesto a un espacio euclidiano, los centros arbóreos de un triángulo equilátero unitario están como máximo a 1/3 de distancia unos de otros.
En los comentarios a mi otro post sobre posibles contraejemplos, Anton también pide referencias. He encontrado el artículo Retracciones no expansivas en espacios de Banach de Kopecká y Reich. Dicen,
Esta demostración del Teorema 2.10 funciona igualmente bien en cualquier espacio de Hadamard en el que el casco convexo cerrado de un número finito de puntos sea compacto. Se deduce entonces que el problema Plateau puede resolverse en tales espacios. Desafortunadamente, no se sabe qué espacios de Hadamard tienen esta propiedad. Sin embargo, se demuestra en [We, Teorema 1.6] que el problema de Plateau puede resolverse en todo espacio de Hadamard (independientemente de que tenga o no esta propiedad)."
Su teorema 2.10 es una propiedad interesante y más fuerte que demuestran que se deduce de la propiedad de Anton: Todo conjunto compacto $K$ está contenido en un repliegue compacto y 1-Lipschitz del espacio $X$ . Es evidente que dicho repliegue también es convexo, por lo que el casco convexo de $K$ El interior es compacto. Además, el objeto de su Teorema 2.10 es exactamente mi ejemplo 2, por lo que ese ejemplo no sirve. Además, la propiedad de Anton ya tiene un nombre en la literatura, lo que ellos llaman CNEP, y reducen al caso de que $K$ es finito. Por último, a partir de 2006, estos autores lo describen como un problema abierto.
