¿Qué implicaría la conjetura de la cinta cortada?

Question

¿Qué implicaría la conjetura de la cinta de corte para la topología de 4 dimensiones?
He oído hablar de la conjetura de la cinta de corte como una aproximación a la conjetura de Poincare de 4 dimensiones lisas y a la clasificación de las 3 esferas homológicas que limitan las 4 bolas homológicas. Pero nunca he entendido de qué hablaban.

Answer 1

Pienso en la conjetura del corte de cinta como una desear que simplificaría ciertas cuestiones de 4D. Permítanme explicar esto en 3 ejemplos.

1. Dado un "disco de cinta" incrustado en el espacio 4 (en el que la función de Morse no tiene máximos locales) se puede empujar hacia arriba en el espacio 3 y obtener un disco inmerso (cuya frontera sigue siendo el nudo dado) en el que las singularidades son suaves: son las llamadas "singularidades de cinta", arcos de puntos dobles tales que en una de las hojas, el arco se encuentra en el interior. (Imagen...) En realidad, a este disco inmerso en el espacio 3 se le llamaría "cinta" (que puede cortarse a sí misma). Contiene la información sobre el disco inmerso en 4-espacio empujando una hoja de cada singularidad de la cinta en la cuarta dimensión. Existe un algoritmo bastante obvio de cómo crear todas esas cintas en el espacio 3, empezando por el desenlace y añadiendo bandas. No existe una imagen tridimensional tan sencilla para los discos de corte arbitrario y se puede desear que cualquier nudo corredizo es cinta.
2. Un nudo K es slice si y sólo si existe un nudo cinta R tal que la suma conexa K # R es cinta. Se puede desear que uno no tenía que estabilizar.
3. Consideremos el monoide M de nudos orientados bajo suma conexa. Si -K es la imagen especular invertida de K entonces K # (-K) es cinta. Así que es muy tentador tratar de convertir M en un grupo (donde -K se convertiría en el inverso de K) mediante la identificación de dos nudos K' y K si K' # (-K) es cinta. Pero la desear no se cumple: no es una relación de equivalencia y si forzamos a que lo sea entonces por 2 acabamos con el grupo de concordancia de nudos (donde dos nudos K' y K se identifican si K' # (-K) es rodaja).

Es sorprendente que no se propongan contraejemplos a esta conjetura, ni siquiera para los enlaces.

Answer 2

No conozco un vínculo genuino con la conjetura suave de Poincare, pero el vínculo con el cobordismo para esferas homológicas es sencillo. Dado un disco de corte, construir una cubierta ramificada de $D^4$ ramificado sobre el disco de corte. Esto nos da un 4-manifold que limita la cubierta ramificada asociada del nudo en $S^3$ . Yo no lo describiría como un método para determinar qué esferas de homología 3 están unidas a bolas de homología 4, pero es una fuente natural de ejemplos y un vínculo. En todo caso, la información parece fluir sobre todo en la otra dirección. Por ejemplo, el reciente artículo de Paolo Lisca en el que determina con precisión qué conectores-suma de espacios de lentes limitan bolas de homología racional. Como corolario deduce el orden de los nudos de 2 puentes en el grupo de concordancia de nudos en $S^3$ .

EDIT: Aunque no respondo exactamente a tu pregunta, considero la conjetura de la cinta cortada como un problema primitivo de anudado en 4 dimensiones. Dado un disco de rebanada se podría preguntar si es isotópico a un disco de cinta (si la función de altura sobre $D^4$ cuando se limita al disco de corte sólo tiene accesorios de 1 asa y de 2 asas, en ese orden). Se puede estropear un disco de cinta tomando sumas de conexión con 2-nudos. Entonces, ¿módulo conectar sumas con 2 nudos es cada disco de rebanada isotópico a un disco de cinta? Tal vez sea demasiado pedir, así que puedes plantear el problema de la cinta de corte.

2ª edición: Por lo que yo sé, la conjetura de la rebanada de cinta no tiene mayores consecuencias. Como describo más arriba, es más bien una conjetura del tipo ''marcador externo''. Es una medida de lo bien que entendemos el anudamiento de cosas bidimensionales en cosas cuatridimensionales.

3ª edición: He aquí un tipo de consecuencia leve que me señalaron recientemente. En mi preprint arXiv sobre incrustaciones de 3-manifolds en $S^4$ está la Construcción 2.9 que crea incrustaciones de ciertos 3-manifolds $M$ en homotopía de 4 esferas. El primer paso es encontrar una contractible $4$ -manifold $W$ que limita el 3manifold $M$ entonces doblas $W$ para obtener una homotopía $S^4$ . Si el enlace utilizado en la construcción es un enlace de cinta, el colector contractible $W$ admite una descomposición de asas con un asa 0, $n$ 1-asas y $n$ 2 asas (para algunos $n$ ) y sin asas de dimensiones superiores. Por tanto, la homotopía $S^4$ construido que contiene $M$ es difeomorfo a $S^4$ proporcionó la presentación correspondiente de $\pi_1 W$ es trivializable mediante los movimientos de Andrews-Curtis (diapositivas de asa para la presentación de asa). Este argumento aparecerá en el próximo borrador del documento, que debería aparecer antes de enero.

Answer 3

Tengo una pregunta sobre la respuesta de Peter Teichner. ¿No hay contraejemplos candidatos, por ejemplo en el siguiente artículo de `Topology and its Applications':

Algunos nudos de cinta bien disimulados

Robert E. Gompf, 1 y Katura Miyazakib, , 2

Resumen Para ciertos nudos J en S1 × D2, se define el nudo dual J* en S1 × D2. Sea J(O) el nudo satélite del nudo O con patrón J, y K el satélite de J(O) con patrón J*. El nudo K limita entonces un disco liso en una bola 4, pero no es obviamente un nudo cinta. Demostramos que K es, de hecho, una cinta. También demostramos que la suma conexa J(O) # J*(O) es un nudo no cinta para el que desaparecen todos los obstáculos algebraicos conocidos a la rebanabilidad.