$min\{ \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\}$

Question

Hay un problema de Olimpiadas: $$a,b,c \in \mathbb{R}^+,M=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}},$$ encontrar el valor mínimo de $M$ .

Creo que $M$ es mínimo cuando $a=b=c$ pero no puedo probarlo.

¿Alguna idea que demostrar? ¿O refutar?

¿Quizás AM-GM trabaje en este problema?

Answer 1

Pista: Como la expresión es homogénea, podemos fijar $a+b+c=1$ digamos. Entonces $$M = \sum_{cyc}\left( \sqrt[4]{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{1-a}a}\right)$$

Ahora estás sumando una función convexa, así que usa la desigualdad de Jensen para encontrar el mínimo...