Antecedentes: un campo es formalmente real si -1 no es una suma de cuadrados de elementos en ese campo. En solicitud sobre un campo es una ordenación lineal que es (exactamente en el sentido que usted adivinaría si no ha visto esto antes) compatible con las operaciones de campo.
Es inmediato ver que un campo que se puede ordenar es formalmente real. Lo contrario es un famoso resultado de Artin-Schreier. (Para una exposición amena, véase Álgebra básica de Jacobson. Para una exposición no particularmente elegante que está disponible gratuitamente en línea, véase http://alpha.math.uga.edu/~pete/realspectrum.pdf. )
La prueba no es larga ni difícil, pero recurre al lema de Zorn. Uno sospecha que la dependencia del Axioma de Elección es crucial, porque un campo que es formalmente real puede tener muchos ordenamientos diferentes (loc. cit. da una breve introducción a la espectro real de un campo, el conjunto de todos los ordenamientos dotados de una determinada topología que lo convierten en un espacio topológico compacto y totalmente desconectado).
¿Puede alguien dar una referencia o un argumento de que AC es necesaria en sentido técnico (es decir, que hay modelos de ZF en los que es falsa)? ¿Suponer que los campos formalmente reales pueden ordenarse recupera alguna versión débil de AC, por ejemplo, que cualquier álgebra booleana tiene un ideal primo? (O, lo que me parece menos probable, ¿es equivalente a AC?).
