Si el $\lim(|f(x)|) = 0$ entonces $\lim(f(x)) = 0$ . ¿Funciona en ambos sentidos?

Question

Nos dieron una lista de leyes límite en nuestra Guía de Estudio de Cálculo y no puedo entender por qué esto se dio como algo unidireccional.

DADO:

Si $\lim_{x\to a}| f(x)| = 0$ entonces $\lim_{x\to a}f(x) = 0$

Esta es la propiedad límite que se nos ha otorgado. Ahora, ¿por qué no podemos decir:

Si $\lim_{x\to a}f(x) = 0$ entonces $\lim_{x\to a}|f(x)| = 0$

No se me ocurre ningún gráfico que conozca que haga que lo anterior sea falso. ¿Alguien puede explicar por qué esto sólo funciona de una manera?

Disculpen mi lenguaje matemático-criminal; en estos momentos estoy ocupado preparando un examen.

Answer 1

De hecho, puedes decirlo. Veamos.

$\lim_{x \to a}f(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $ \forall \varepsilon >0, \exists \delta>0 ; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-0|=|f(x)|<\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $ \forall \varepsilon >0, \exists \delta>0 ; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow ||f(x)|-0|=|f(x)|<\varepsilon $

Answer 2

En $|f(x)-0|=||f(x)|-0|$ el cálculo del límite funcionará en ambos sentidos.