Demuestra que $R\cong R_P$ el anillo de cocientes de $R$ con respecto al conjunto multiplicativo $R-P$ si $R$ tiene exactamente un ideal primo $P$ .

Question

Pregunta: Que $R$ sea un anillo conmutativo con identidad que tiene exactamente un ideal primo $P$ . Demuestre que $R\cong R_P$ el anillo de cocientes de $R$ con respecto al conjunto multiplicativo $R-P$

Esta es una vieja pregunta, y la primera parte de la pregunta era demostrar que $R/P$ es un campo. Por lo tanto, consideramos el ideal máximo $M$ de $R$ tal que $P\subseteq M\subsetneq R$ . Así, $M$ es primo y por tanto $M=P$ por unicidad de $P$ . Así $P$ es máxima y por tanto $R/P$ es un campo. Ahora, para la pregunta, no estoy seguro de si es relevante, pero cada vez que veo "conjunto multiplicativo", pienso en el teorema:

Sea $R$ sea un anillo conmutativo distinto de cero con identidad y $S$ un subconjunto multiplicativo de $R$ que no contenga $0$ . Si $P$ es maximal en el conjunto de ideales de $R$ sin intersección $S$ entonces $P$ es primo.

Pero, no sé si esto ayudará. Para mostrar el isomorfismo, me imagino que tengo que llegar a un mapa, pero no puedo ver uno que funcione. Se agradece cualquier ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Dado que los ideales maximales son primos, también existe como máximo un ideal maximal. Y como existe un ideal maximal (a menos que $R=0$ en cuyo caso no habría ningún ideal primo), existe exactamente un ideal maximal, que es al mismo tiempo el único ideal primo, por lo que $R$ un anillo local.

Y es conocido que la localización de un anillo local en su ideal máximo es sólo el anillo local.