¿Se derrama la secuencia exacta natural del haz de chorros holomorfos?

Question

Sea $X$ sea una variedad compleja. Consideremos el haz de chorros del haz de líneas trivial en $X$ . Lo denotamos como $J_{1}(\mathbb{C})$ . Tenemos la secuencia exacta corta:

$$0\rightarrow\Omega_{X}\rightarrow J_{1}(\mathbb{C})\rightarrow \mathbb{C}\rightarrow 0$$

Creo que utilizando el mismo método para el caso suave podríamos concluir que $J_{1}(\mathbb{C})\cong \Omega_{X}\oplus \mathbb{C}$ y la secuencia exacta corta anterior en realidad divide . El método para el caso suave se menciona por ejemplo en wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Jet_bundle

Por otra parte, dado que $J_{1}(L)\cong J_{1}(\mathbb{C})\otimes L$ para cualquier haz de líneas holomorfas. Si la sucesión exacta corta anterior se divide, sabemos que

$$0\rightarrow\Omega_{X}\otimes L\rightarrow J_{1}(L)\rightarrow L\rightarrow 0$$

también se separa. Pero esto es demasiado raro ya que sabemos que una versión de la secuencia de Euler en el espacio proyectivo es:

$$0\rightarrow \Omega_{\mathbb{P}^{n}}(1)\rightarrow J_{1}(\mathcal{O}(1))\rightarrow \mathcal{O}(1)\rightarrow 0$$

véase, por ejemplo, la página 34 del libro https://www.google.ca/books/edition/On_the_Geometry_of_Some_Special_Projecti/_OKKCwAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=euler+secuencia+jet+bundle&pg=PA34&printsec=portada delantera

Sin embargo, la sucesión de Euler no debe dividirse en la categoría holomorfa.

Answer 1

Pregunta: " Por otra parte, puesto que J1(L)J1(C)L para cualquier haz de líneas holomorfo. Si la secuencia exacta corta anterior se divide, sabemos que 0XLJ1(L)L0 también se divide".

Contesta: Si $X\subseteq \mathbb{P}^n_k$ donde $k$ es el campo de números complejos y $X$ es una variedad proyectiva, se deduce que $X$ es una variedad algebraica. Si $L$ es un haz lineal holomorfo en $X$ se deduce lo siguiente $L$ es algebraico. La secuencia

$$A1.\text{ }0 \rightarrow \Omega^1_X(L) \rightarrow J^1(L) \rightarrow L \rightarrow 0$$

se divide si $L$ tiene una conexión algebraica (u holomórfica) y $L$ no tiene tal conexión en general. La división de su primera secuencia no implica la división de la secuencia A1. La secuencia $A1$ define una clase

$$a(L) \in Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L , \Omega^1_X(L)).$$

Puede "ver" la secuencia $A1$ como una secuencia de reales $C^{\infty}$ paquetes de vectores y como tal se divide.

Tu comentario: "Tenemos la secuencia exacta corta 0XJ1(C)C0"

Contesta: No está claro lo que quiere decir cuando escribe $\mathbb{C}$ en la secuencia anterior. Normalmente esta secuencia implica la gavilla de estructura $\mathcal{O}_X$ de la variedad compleja $X$ : Si $U \subseteq X$ es un subconjunto abierto se deduce $\mathcal{O}_X(U)$ es el anillo de funciones holomorfas sobre $U$ .

Nota: Si $A$ es una conmutativa $k$ -y $E$ es una izquierda $A$ -modulo let $\Omega:=\Omega^1_{A/k}$ . Sea

$$J^1(E):=\Omega\otimes_A E \oplus E$$

con la siguiente izquierda $A$ -estructura del módulo:

$$a(\omega \otimes u,v):=((a\omega)\otimes u +d(a)\otimes v,av)$$

donde $d:A \rightarrow \Omega$ es la derivación universal. Se deduce

$$A1.\text{ }0 \rightarrow \Omega \otimes E \rightarrow J^1(E) \rightarrow E \rightarrow 0$$

es una secuencia exacta de $A$ -y $A1$ se divide si existe una conexión

$$\nabla: E \rightarrow \Omega \otimes E.$$ Si $E$ es un proyectivo $A$ -se deduce lo siguiente $A1$ es divisible, por lo que cualquier $A$ -el módulo tiene una conexión.

¿Por qué está "dividido por una conexión"? Si $s: E \rightarrow J^1(E)$ es una izquierda $A$ -división lineal sigue $s(e):=(\nabla(e),e)$ . En consecuencia

$$s(ae)=(\nabla(ae),ae)=as(e):=a(\nabla(e),e):=(a\nabla(e)+da\otimes e,ae)$$

de ahí el mapa $\nabla$ es una conexión en $E$ .

Por ejemplo: Si $X$ es una variedad proyectiva compleja, se deduce que $X$ es algebraico y tiene una cubierta afín abierta $U_i:=Spec(A_i)$ . Si $E^*$ es una gavilla localmente trivial en $X$ se deduce lo siguiente $E_i:=E^*(U_i)$ es un proyectivo $A_i$ -y por la construcción anterior se deduce que $E_i$ tiene una conexión. En general, no existe ninguna conexión holomórfica/algebraica "global" en $E^*$ .