Cómo demostrar que la fila ith $AB$ es el producto matricial de la fila i de $A$ con toda la matriz $B$ ?

Question

Consideremos dos matrices $A$ y $B$ de dimensiones tales que el producto $AB$ existe. Demuestre que la fila ith de $AB$ es el producto matricial de la fila i de $A$ con toda la matriz $B$ .

Intento utilizar esta definición $AB = \sum_{l=1}^{n} A_{il} B_{lk} = .$

Lamentablemente estoy atascado y necesito ayuda para seguir adelante.

Answer 1

Para una matriz $M$ define $M_{ij}$ ser su $(i,j)^{th}$ entrada, y $M_i$ ser su $i^{th}$ fila.

Lo que quiere mostrar es

$$(AB)_i = A_iB$$

Y por definición de la multiplicación matricial regular,

$$(AB)_{ij} = \sum A_{i\ell}B_{\ell j} \tag 1$$ $$(A_iB)_{1j} = \sum (A_i)_{1\ell}B_{\ell j} \tag 2$$

Desde $A_iB$ sólo tiene una fila, tendrá que demostrar que $(1)$ y $(2)$ son iguales para cada $j$ .