Minimizar $\;\big(-x+y+1 \big)^2 + \big( x-y-2\big)^2 + \big(x+2y-3 \big)^2 \;$ sin usar derivadas parciales

Question

Cómo encontrar el mínimo de la expresión $$\, \big(\!-x+y+1 \big)^2 + \big( x-y-2\big)^2 + \big(x+2y-3 \big)^2 \,$$ sin el uso de derivadas parciales?

Es fácil encontrar la respuesta $\; x = 2, \; y = \dfrac{1}{2}\; $ mediante el cálculo del gradiente de la expresión de arriba, pero no veo la manera de hacerlo sin usar derivadas parciales.

Esta es la parte de la tarea para la clase de álgebra lineal diseñado para los estudiantes de primer año. Siento que no hay manera de firs año se espera que los estudiantes a utilizar las derivadas parciales debido a que este tema sólo se enseña en la final de CALC II clase. Me siento muy tonta y desanimado como no podía ayudar al estudiante. Hemos intentado hacer la sustitución de $\;z = x-y,\;$ o la ampliación de los soportes, pero nada parecía dar una respuesta definitiva. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Al completar el cuadrado, $$ \big(-x+y+1 \big)^2 + \big( x-y-2\big)^2 + \big(x+2y-3 \big)^2 = 3(x-2)^2+6(y-\frac{1}{2})^2 +\frac{1}{2}$$ el mínimo es de $\frac{1}{2}$

Answer 2

sugerencia:

$a = y-x+1, b = x-y-2, c = x+2y-3$, a continuación, encontrar una ecuación en la $a,b,c$ y el uso de CS de la desigualdad.

Answer 3

desde $$f=(-x+y+1)^2+(x-y-2)^2+(x+2y-3)^2\ge (-x+y+1)^2+(x-y-2)^2$$ y el Uso de Cauchy-Schwarz desigualdad tenemos $$[(-x+y+1)^2+(x-y-2)^2][1^2+1^2]\ge (-x+y+1+x-y-2)^2=1$$ así $$f\ge \dfrac{1}{2}$$

Answer 4

Si expande la expresión que ver no hay cruz términos, por lo que se reduce a una por separado, la minimización de una función de $x$ y una función de $y$.