¿Cómo puedo demostrar que si $f$ y $g$ están completos y $|f|\ge |g|$ entonces hay algún $\beta$ tal que $f(z) = \beta g(z)$ para todos $z$ ?

Question

Me preguntaba si podría ayudarme con una duda:

Supongamos que $ f $ y $ g $ son funciones enteras, y que $ |f(z)| \leq |g(z)| ,\forall z \in C $ . Demostrar que existe $ \exists \beta \in C $ tal que $f(z) = \beta g(z), \forall z C$ .

Traté de mostrar $f(z)/g(z) $ era constante por el teorema de Liouville sin embargo no sabemos si $ f(z)/g(z)$ está completo como $g(z)$ puede ser igual a $0$ . Así que no podría usar el hecho de que es entero y acotado para usar el teorema de Liouville. ¿Tienes alguna idea? gracias de antemano

Answer 1

Si $g(z)$ es no evanescente se aplica el teorema de Liouville, así que supongamos que $g$ tiene un conjunto no trivial $Z$ de ceros.

Si $z_0 \in Z$ entonces la función $h(z) = \dfrac{f(z)}{g(z)}$ es analítica en algún disco puntuado centrado en $z_0$ tiene una singularidad aislada en $z_0$ y está acotado. Esto descarta la posibilidad de una singularidad esencial, por lo que o bien la singularidad en $z_0$ es removible o es un polo de orden finito.

Si $h$ tiene un polo de orden finito $m$ en $z_0$ entonces existe una función $w$ que es analítica en un disco centrado en $z_0$ que satisfaga $w(z_0) \not= 0$ y $w(z) = (z - z_0)^m h(z)$ . Esto a su vez conduce a $g(z) w(z) = (z - z_0)^m f(z)$ y al tomar el módulo resulta que $|w(z)| \le |z - z_0|^m$ . Esto contradice $w(z_0) \not= 0$ .

De ello se deduce que $h(z)$ tiene una singularidad extraíble en $z_0$ y puede modificarse para que sea analítica en $z_0$ . En consecuencia $h$ es una función entera acotada, por tanto constante.

Answer 2

Utilizando al pequeño Picard, si una función meromorfa en todo el plano complejo pierde tres puntos debe ser constante. ¿Puedes ver cómo usar esto?