El lugar del centroide de un triángulo variable

Question

Para la variable Triángulo $\Delta ABC$ con vértice fijo en $C(1,2)$ y $A,\,B$ con coordenadas $(\cos t, \sin t)$ , $(\sin t, -\cos t)$ hallar el lugar de su centroide.

Answer 1

La ecuación paramétrica de la curva de lugar para el centroide es

$$\begin{align} \vec G &= \frac{1}{3} (\vec A + \vec B + \vec C)\\ &= \frac{1}{3}[(1+\cos t+\sin t){\bf{i}}+(2+\sin t -\cos t){\bf{j}}] \\ &\equiv x_G {\bf{i}} + y_G {\bf{j}} \end{align}$$

De hecho, este lugar geométrico es un círculo y los detalles del mismo se dan en la respuesta de marwalix. Su ecuación cartesiana es

$$(x_G-{1\over 3})^2+(y_G-{2\over 3})^2={2\over 9}$$

Por lo tanto, es un círculo centrado en $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ con el radio $R=\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Esta animación ayuda a visualizar mejor el locus. Como puedes ver, si uno de los puntos $A$ ou $B$ se encuentra en la intersección de los dos círculos, entonces todos los puntos se encuentran en una línea y el centroide es $A$ ou $B$ Sí.

Answer 2

El. Centroide $G$ de ${A,B,C}$ es tal que

$$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$$

Usando la identidad de Chasles con el origen $O$ se obtiene

$$\vec{GO}+\vec{OA}+\vec{GO}+\vec{OB}+\vec{GO}+\vec{OB}=\vec{0}$$

Utilizando $\vec{GO}=-\vec{OG}$ se obtiene

$$\vec{OG}={\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\over 3}$$

Y esto se traduce en coordenadas

$$\vec{OG}={\left(1+\cos{t}+\sin{t}\right)\over 3}\vec{i}+{\left(2+\sin{t}-\cos{t}\right)\over 3}\vec{j}$$

Se puede comprobar que

$$(x_G-{1\over 3})^2+(y_G-{2\over 3})^2={\cos^2{t}+2\cos{t}\sin{t}+\sin^2{t}+\sin^2{t}-2\sin{t}\cos{t}+\cos^2{t}\over 9}$$

Y esto se simplifica a

$$(x_G-{1\over 3})^2+(y_G-{2\over 3})^2={2\over 9}$$

Y esta es la ecuación de un círculo centrado en $(1/3,2/3)$ con radio ${\sqrt{2}\over 3}$