Densidad de funciones suaves en el espacio de Sobolev, respetando las trazas no negativas

Question

Busco una referencia para el siguiente resultado (si es cierto, que es lo que yo esperaría):

Sea $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ sea un dominio Lipschitz acotado. Sea $\Gamma_0\subset\partial\Omega$ ser suficientemente regular.

Sea $V_1:=\left\{\phi\in C^\infty\left(\overline{\Omega}\right):\phi\geq 0 ~\text{on}~ \Gamma_0\right\}$ .

Sea $V_2$ sea el conjunto de funciones $u\in W^{1,p}(\Omega)$ con traza no negativa en $\Gamma_0$ .

Entonces $V_1$ es denso en $V_2$ .

Si consideramos el caso de " $\phi = 0$ " en lugar de " $\phi \geq 0$ ", por supuesto un resultado análogo para $\Gamma_0=\partial\Omega$ es bien conocida, y hay un resultado que dice que sigue siendo cierta si $\Gamma_0\subset\partial\Omega$ es relativamente abierta y tiene un límite Lipschitz relativo.

Ya sería muy útil tener una referencia del resultado con $\phi \geq 0$ y $\Gamma_0=\partial\Omega$ .

Answer 1

Más un comentario que una respuesta, pero...

No conozco ninguna referencia, pero tal vez puedas probarlo de la siguiente manera. Para $u \in W^{1,p}(\Omega)$ con traza no negativa, escribe $u = u^+ - u^-$ que se encuentran en $W^{1,p}(\Omega)$ . Desde $u^+$ es no negativo en todas partes, deberías poder aproximarlo mediante funciones suaves no negativas $\phi_n$ . Y como $u^-$ tiene traza cero, por el resultado que citas, se puede aproximar mediante funciones suaves $\psi_n$ que desaparece en la frontera (tal vez incluso con soporte compacto). Entonces $\phi_n - \psi_n$ son no negativos en la frontera y convergen a $u$ .