¿Qué son los objetos fibrantes en la estructura del modelo inyectivo?

Question

Si C es una categoría pequeña, podemos considerar la categoría de presheaves simpliciales sobre C. Ésta es una categoría modelo de dos maneras naturales que son compatibles con la estructura modelo habitual sobre conjuntos simpliciales. Se denominan inyectiva y proyectiva estructuras modelo, y en ambas las equivalencias débiles son las equivalencias débiles a nivel es decir, aquellas transformaciones naturales $X \to Y$ tal que $X(c) \to Y(c)$ es una equivalencia débil para todo $c \in C$ .

Las cofibraciones en la estructura del modelo inyectivo son las cofibraciones a nivel. Las fibraciones inyectivas se definen entonces como aquellos mapas que tienen la propiedad de elevación a la izquierda con respecto a todas las cofibraciones que también son equivalencias débiles. Las cofibraciones inyectivas objetos fibrantes son aquellos pregrabados simpliciales en los que el mapa al pregrabado terminal es una fibración inyectiva.

Mi pregunta : ¿Existe una mejor caracterización de los objetos fibrantes? Si tengo un objeto, ¿hay algún atajo que pueda utilizar para comprobar si es fibrante? Una condición necesaria obvia es que cada conjunto simplicial $X(c)$ debe ser fibrante (es decir, un complejo de Kan), pero quiero condiciones suficientes. Estoy dispuesto a poner restricciones en C.

Por otro lado, podemos ver la estructura del modelo proyectivo donde las fibraciones son las fibraciones de nivel, y las cofibraciones tienen la propiedad de extensión con respecto a éstas. También me interesaría conocer los objetos cofibrantes en esta estructura del modelo, aunque por ahora me interesa más la estructura del modelo inyectivo.

Answer 1

No estoy 100% seguro, pero creo que la respuesta es que debes elegir un modelo celular para PSh(C) (la categoría de preconjuntos sobre C), que es un conjunto S de monomorfismos en PSh(C) tal que cada monomorfismo de PSh(C) puede escribirse como una composición transfinita de empujes de elementos de S. Entonces los objetos fibrantes en la categoría de preconjuntos simpliciales sobre C son aquellos objetos X tales que X(b) → X(a) es una fibración para cada a → b en S (aquí X(a) denota el conjunto simplicial cuyos n-símbolos son Hom _PSh(S) (a, X _n )).

Encontrar un modelo celular no es tan fácil en general (véase el lema A.3.3.3 del libro de Jacob para una prueba de existencia). Pero en casos especiales es sencillo, por ejemplo, para C = Δ, podemos tomar los mapas $\partial \Delta^n \to \Delta^n$ para $n \ge 0$ .

Answer 2

En la introducción de su artículo "Flasque Model Structures for Presheaves" (de hecho, presheaves simpliciales), Isaksen afirma en la parte superior de la página 2 que su estructura de modelos tiene una buena caracterización de los objetos fibrantes y que "Esto es totalmente diferente a las estructuras de modelos inyectivos, donde no hay una descripción explícita de los objetos fibrantes". Esto respondería a tu pregunta. Puede que sea mi ignorancia, pero creo que no hay ninguna justificación para la afirmación citada de Isaksen, salvo que todavía no se conoce ninguna caracterización.

Answer 3

Creo que puedes encontrar una respuesta en mi pregunta sobre las fibraciones globales de las láminas simpliciales: fibraciones globales de laminados simpliciales .

Allí, Andreas Holmstrom me señaló el preprint de Voevodsky "Homotopy theory of simplicial presheaves in completely decomposable topologies", http://front.math.ucdavis.edu/0805.4578 donde descubrí el lema 4.1, que creo que responde a tu pregunta.

Aunque no está demostrado, Voevodsky dice que es sencillo. Yo mismo podría escribir una prueba de ello, al menos bajo la hipótesis de la "Algebraic K-theory as generalized sheaf cohomology" de Brown-Gernstern, en LNM 341/1973, es decir, con gavillas definidas en un espacio noetheriano de dimensión de Krull finita.

Al menos en esta situación, las fibraciones son fibraciones globales . Es decir, un morfismo de gavillas $p: E \longrightarrow B$ es una fibración global si y sólo si para cada inclusión de conjuntos abiertos $U\subset V$ el mapa natural $E(V) \longrightarrow B(V) \times_ {B(U)} E(U)$ es una fibración (Kan) de conjuntos simpliciales.

Como corolario, si se toma $B = *$ esta condición te dice que los objetos fibrantes son aquellos para los que cada mapa de restricción $E(V) \longrightarrow E(U)$ es un fibrado de Kan. En particular, pongamos $U=\emptyset$ y esto implica que cada $E(V)$ debe ser un complejo de Kan.

Todo esto con la hipótesis de Brown-Gersten, pero Voevodsky no parece necesitarlos, así que quizás también sea cierto en su situación.