Dos condiciones de contorno del modelo de gas de electrones libres

Question

Consideremos un gas de electrones libres en un sólido rectangular con cada lado de longitud $L_x$ , $L_y$ , $L_z$ .

"Griffiths <Introducción a la Mecánica Cuántica>" utiliza barrera cuadrada infinita como condición de contorno fija. e.i. $\psi(0)=\psi(L_{x,y,z})=0$ , esto conduce a números cuánticos enteros positivos $n_{x,y,z}=1,2, ...$ correspondientes a soluciones de onda estacionaria $\psi=\sqrt{\frac{8}{V}}sin(\frac{n_x\pi}{L_x})sin(\frac{n_y\pi}{L_y})sin(\frac{n_z\pi}{L_z})$ con $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}, k_{x,y,z}=\frac{n\pi}{L_{x,y,z}}$ .

Pero "Ashcroft&Mermin <Solid State Physics>" utilizan condiciones de contorno periódicas. e.i. $\psi(x,y,z)=\psi(x,y,z+L_z);\psi(x,y,z)=\psi(x+L_x,y,z);\psi(x,y,z)=\psi(x,y+L_y,z)$ . Así pues, esta vez los números cuánticos son sólo enteros $n_{x,y,z}=0,\pm1,\pm2, ...$ correspondientes a soluciones de onda corrida $\psi=\sqrt{\frac{1}{V}}e^{ikr}$ con $E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}, k_{x,y,z}=\frac{2n\pi}{L_{x,y,z}}$ .

Estas dos condiciones de contorno dan niveles de energía muy diferentes. Por ejemplo, la función de onda del estado fundamental de la condición de contorno fija es $\psi_{111}$ ya que n no puede ser cero. Pero para condiciones de contorno periódicas podemos tener estados como $\psi_{100}, \psi_{110}$ ya que n puede ser cero. Estoy confundido por la diferencia en estos dos libros. Entonces, ¿cuál es el estado fundamental real de un modelo de gas de electrones? ¿O en qué condiciones debemos utilizar estos dos límites diferentes?

Answer 1

Estas dos condiciones de contorno dan niveles de energía muy diferentes.

¿De verdad? En una dimensión, los niveles de energía tienen este aspecto (donde la animación toma el límite termodinámico $L\rightarrow \infty$ ):

Los círculos rojos son los niveles de energía (no degenerados) correspondientes a las condiciones de contorno fijas, los asteriscos azules son los niveles de energía (doblemente degenerados) correspondientes a las condiciones de contorno periódicas. Son diferentes, pero cuando se toma el límite termodinámico ambos se aproximan a la misma densidad de estados.

¿Cuál es el verdadero estado básico de un modelo de gas de electrones? ¿O en qué condiciones debemos utilizar estos dos límites diferentes?

Desde el punto de vista operativo, los dos modelos arrojan las mismas predicciones en el límite $L\rightarrow \infty$ . Con esto quiero decir que si arreglas $L$ sea finito y calcule alguna predicción medible del modelo, entonces el resultado dependerá genéricamente de las condiciones de contorno que haya aplicado - sin embargo, si posteriormente toma el límite como $L\rightarrow\infty$ entonces desaparecerán las diferencias entre las dos predicciones. En ese sentido, las condiciones de contorno no importan realmente. Las condiciones periódicas tienden a facilitar ligeramente las cosas, así que son las que se suelen emplear, pero en principio depende de ti.

Todo esto puede evitarse trabajando desde el principio en el límite de volumen infinito, pero entonces nos encontramos con problemas técnicos como el hecho de que, en sentido estricto, no existen estados propios de energía o de momento porque el espectro del hamiltoniano es continuo; entonces tenemos que recurrir a estados propios generalizados (no normalizables) y a otras herramientas más sofisticadas.