Simple pregunta sobre superficies de tipo general.

Question

He descubierto que si $S$ es una superficie mínima no reglada $\chi_{top}(S)\ge0$ . En algún libro vi que en el caso de superficies de tipo general la desigualdad es estricta. ¿Por qué?

Answer 1

Esto es cierto para cualquier superficie lisa de tipo general. He aquí un argumento.

En primer lugar, si $S$ no es mínimo, entonces su modelo mínimo $S_m$ es suave, mínima, de tipo general, y $\chi(S_m)<\chi(S)$ . Así pues, basta con demostrar la afirmación para superficies mínimas de tipo general.

Si $S$ es mínimo, entonces $K_S$ es nef. Pero como $S$ también es de tipo general, $K_S$ también es grande. Un divisor nef en una superficie es grande si y sólo si su autointersección es $>0$ por lo que obtenemos $c_1(S)^2=K_S^2>0$ .

Ahora el Desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau dice que $\chi(S) \geq \frac13 K_S^2>0$ .