Existencia de la solución como serie de potencias en un intervalo no vacío

Question

Consideremos la siguiente ecuación diferencial:

$$ x''(t) = a_1(t)\, x'(t)+a_0(t)\, x(t) $$

Con $a_0,a_1$ funciones definidas para cada número real y continuas en $\mathbb{R}$ .

Pregunta: ¿Existe una solución que pueda escribirse como una serie de potencias convergente en un intervalo abierto no vacío $I$ ?

Para ser sincero, aún no sé la respuesta a la pregunta. Parece quizá improbable en cierto sentido que esto sea cierto porque hay varias funciones que son suaves pero no analíticas.

Answer 1

Esto procede directamente de "Ecuaciones diferenciales elementales, de Rainville y Bedient", que cita la prueba rigurosa de "Ecuación diferencial intermedia de Rainville":

Si $ a_1(t), a_2(t) $ son funciones racionales de x con denominadores que no desaparecen en 0

$$x''(t) = a_1(t)y'(t) + a_2(t)y(t)$$ $$x'''(t) = a_1'(t)x'(t) + a_1(t)x''(t) + a'_2(t)x'(t) + a_2(t)x(t) $$

Así que.., $x'''(0)$ puede calcularse una vez $x''(0)$ es conocido.
Utilizando $x'''(t)$ , $x''''(t)$ puede calcularse. Con $x''''(t)$ conocido, $x''''(t)$ puede calcularse.

El proceso anterior puede continuarse tanto como queramos (con condiciones sobre las derivadas de $ a_1(t), a_2(t) $ por supuesto). Por lo tanto, existe una serie de potencias basada en la fórmula de Maclaurin, y los valores iniciales $x(0), x'(0)$ se da como:

$$ x(t) = x(0) + x'(0) + \sum_{n=2}^\infty x^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$$

Donde los valores x' se calculan como en el punto anterior.