la serie es divergente

Question

Quiero demostrar que $\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{2^k})$ diverge? Quiero hacer esto con la prueba de comparación, pero no encuentro una serie divergente.
Otro punto que quiero preguntar, si puedes hacer esto: $\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{2^k})=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$ ? Una de estas series del lado derecho es convergente, por lo tanto no tienes el caso indefinido $\infty -\infty$ .

Answer 1

Supongamos que la serie converge. Entonces, como es evidente $\;\sum\frac1{2^k}\;$ converge ya que es una serie geométrica con cociente $\;\frac12\;,\;\;\left|\frac12\right|<1\;$ entonces también lo tendríamos

$$\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{2^k}\right)+\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^k}=\sum_{k=1}^\infty\frac1k\;\;\;\;\;\text{converges}$$

lo cual es absurdo.

Answer 2

Para $k$ lo suficientemente grande, $\frac1k - \frac1{2^k} \ge \frac1{2k}$ ( $\equiv k \le 2^{k-1}$ ) y puede utilizar su prueba de comparación.

Además no puedes escribir realmente esta igualdad tuya porque $\sum^{\infty}_1 \frac1k$ no existe (o "es $\infty$ ").

Answer 3

Con equivalentes suele ser más fácil. Funciona para la convergencia absoluta (esta serie tiene términos positivos): $$\frac1k-\frac1{2^k}\sim_{\infty} \frac1k$$ y sabes que la serie armónica diverge.