Para la matriz autoadjunta $A$ , $\exists B,C$ tal que $A=B-C$ con $BC=0$ donde $B,C$ ,

Question

Quiero demostrar el siguiente teorema.

Para una matriz autoadjunta arbitraria $A \in M_{n,n}(\mathbb{C})$ , $\exists$ matriz autoadjunta $B,C$ cuyos valores propios son no negativos, tal que $BC=0$ y $A=B-C$ .

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Sé que para cualquier $A\in M_{n,n}(\mathbb{C})$ , $A=B+iC$ para $B,C$ matriz autoadjunta. Pero en este momento, no tengo ni idea de cómo demostrar el teorema anterior.

Answer 1

Desde $A$ es autoadjunto, $\exists P$ unitario y $D$ diagonal con componentes reales tales que $A=PDP^\ast$ . Ahora haz el trabajo en $D$ . Escriba a $D=D_++D_-$ donde $D_+$ es diagonal con entradas no negativas y $D_-$ es diagonal con entradas no positivas de la forma más natural. Establezca $B=PD_+P^\ast$ y $C=-PD_-P^\ast$ . Entonces $B$ y $C$ satisfacen las hipótesis requeridas.

Answer 2

He intentado encontrar una respuesta que no utilice (al menos en apariencia) valores propios. Aquí va.

A continuación sólo se asume que toda matriz autoadjunta no negativa tiene una única raíz cuadrada no negativa que conmuta con ella.

Sea $S$ sea la única raíz cuadrada no negativa de $A^2$ . Sea $B := \frac{A+S}{2}$ y $C := \frac{S-A}{2}$ . Las matrices $B$ y $C$ son autoadjuntas como combinaciones lineales con coeficientes reales de matrices autoadjuntas.

Entonces $BC = \frac{1}{4}\left(S^2 - A^2\right) = 0$ .

Demostremos que $B$ es no negativo, es decir, para cada $\phi \in \mathcal{H}$ , $\langle \phi, B\phi\rangle \geq 0$ .

Observe que $B^2 = \frac{1}{4}(A^2 + 2AS + S^2) = \frac{1}{4}(2AS + 2S^2) = \frac{1}{2}(AS+S^2) = BS$ ; observe también que y que $B$ conmuta con $S$ de modo que $B^2S$ es un operador no negativo (véase, por ejemplo aquí ).

Si $\phi \in \ker B$ entonces $\langle \phi,B\phi\rangle = 0$ . Si $\phi \in im(B)$ entonces hay algún $\psi$ tal que $\phi = B\psi$ y, por lo tanto $\langle \phi,B\phi\rangle = \langle B\psi,B^2\psi\rangle = \langle B\psi,BS\phi\rangle = \langle \psi,B^2S\psi\rangle \geq 0$ .

Además, es clásico que $\ker B = (im B)^\perp$ por lo que $\phi$ sea un vector cualquiera; descompóngalo en $\psi_1 +\psi_2$ tal que $\psi_1 \in \ker B$ y $\psi_2 \in im B$ . Entonces $\langle \phi,B\phi\rangle = \langle \psi_1 + \psi_2, B\psi_1 + B\psi_2\rangle = \langle \phi_1, B \psi_2\rangle + \langle \psi_2,B\psi_2\rangle = \langle \psi_2,B\psi_2\rangle \geq 0$ .

El mismo argumento sirve para $C$ .