Un resultado de Borel y Lichnerowicz los estados que la holonomy grupo de una conexión en un principal $G$-bundle es una Mentira subgrupo de $G$ (Cartan anteriormente había afirmado esto, pero al parecer sin prueba).
Esta restricción, que sea una Mentira subgrupo, que permite un montón de mal comportamiento de los subgrupos, por ejemplo, una línea con irracional de la pendiente en un toro. Este subgrupo trata de un bien de inmersión de la Mentira de grupo $\mathbb{R}$, pero no cerrado en la topología inducida por del toro.
Como un ejemplo de algo que no es una Mentira subgrupo, vamos a $G= \mathbb{R}$, considere la posibilidad de una multitud innumerable de $\mathbb{Q}$-puntos independientes, ninguno de los cuales son racionales, y considerar el subgrupo que generan. Si esto fuera una Mentira subgrupo sería la imagen de un incontable espacio discreto (no puede ser cualquier cosa, $1$- dimensional, ya que dejó fuera de los racionales), lo que no sería una segunda contables, por lo tanto no de un colector y no una Mentira grupo.
Esto parece un bonito ejemplo inventado, y sospecho que hay más contenido para 'ser una Mentira subgrupo' de tener countably muchos componentes. Sin embargo, me parece que no puede precisar algo que podría ilustrar esto. ¿Alguien puede darme un ejemplo de conexión de un subgrupo de un grupo Mentira que no es una Mentira subgrupo?
