Halla la forma general de la solución del sistema de ecuaciones siguiente

Question

Halla la forma general de la solución del sistema de ecuaciones siguiente.

\begin{align} 2x_1-x_2+8x_3-x_4&=0\\ -4x_1+3x_2-18x_3+x_4&=0\\ 2x_1+x_2+4x_3-3x_4&=0. \end{align}

Mi intento:

$$ \begin{bmatrix} 2 & -1& 8 & -1\\ -4 & 3 & -18 & 1\\ 2&1&4&-3\\ \end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix} 1 & -1/2& 3 & -1/2\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0&2&-4&-1\\ \end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix} 1 & 0& 3 & -1\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}. $$

Ahora, el vector $(1 \space 2 \space 0 \space0)^T$ es una solución del sistema que se muestra a continuación. Utiliza la respuesta del sistema anterior para escribir la solución general de este sistema.

\begin{align} 2x_1-x_2+8x_3-x_4&=0\\ -4x_1+3x_2-18x_3+x_4&=2\\ 2x_1+x_2+4x_3-3x_4&=4. \end{align}

No estoy seguro de cómo continuar. Podría hacer una matriz aumentada y reducirla, pero no estoy seguro de si eso me estaría dando la respuesta correcta. Además, ¿qué tendría que hacer con la transformación mencionada? ¿Algo?

Answer 1

La solución general del segundo sistema es la solución que encontraste, más la solución general del primer sistema. Pero nunca has terminado de encontrar la solución general del primer sistema.

Answer 2

De su RREF (que he verificado como correcto):

$$\left[\begin{array}{@{}cccc|c@{}} 1 & 0 & 3 & -1 &0\\ 0 & 1 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right]$$

Tenemos:

$$\tag 1 x_1+3x_3-x_4=0$$ $$\tag2 x_2-2x_3-x_4=0$$

En $(2)$ tenemos: $$x_4 = x_2 - 2x_3$$

Sustituyendo esto en $(1)$ rinde: $$\tag 3 x_1 = x_2 - 6x_3$$

Ahora somos libres de elegir soluciones (tenemos dos variables libres) dado que hay un número infinito de ellas.

Sea $x_3 = a$ , $x_2 = b$ que da, a partir de $(3)$ , $x_1 = b - 6a$ .

Resolución de $x_4$ (de $(2)$ ): $x_4 = b - 2a$ .

Nuestra solución general puede escribirse ahora como:

$$(x_1 | x_2 | x_3 | x_4)^{T} = (b-6a, b, a, b-2a)^{T}$$

Por ejemplo, elegir $a = 0, b = 1$ rinde:

$$(x_1 | x_2 | x_3 | x_4)^{T} = (1, 1, 0, 1)^{T}$$

Compruebe que esto resuelve el sistema.

¡Lo has hecho muy bien!

Saludos