¿Cómo puedo demostrar aquí el axioma de dimensión?

Question

He aquí el problema:

Quiero demostrar el axioma de dimensión en (a). Mi profesor me dio el axioma de dimensión para la cohomología reducida de la siguiente manera:

$$\widetilde{H}^k(S^n ; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}, \text{ if } k = n \text{ and } \widetilde{H}^k(S^n ; \mathbb{Z})= 0 \text{ if } k \neq n. $$

Y el axioma de dimensión para la homología como sigue:

$${H}_n(pt.) = 0, \text{ if } n \geq 1 \text{ and } {H}_n(pt.)= \mathbb{Z} \text{ if } n = 0. $$

¿Podría alguien explicarme cómo puedo utilizar esas 2 definiciones para demostrar lo requerido, por favor?

Answer 1

No creo que el "axioma de dimensión" que citas de tu profesor sea correcto. Quizá se refería al axioma de dimensión y te dio ese resultado como consecuencia del axioma, pero desde luego no es equivalente a ninguna forma del axioma de dimensión que yo haya visto. Como se ha señalado en los comentarios, este axioma no es lo bastante restrictivo como para especificar la cohomología de espacios construidos a partir de suspensiones, etc. El que das para la homología es correcto, y el análogo natural de ese axioma para la cohomología es $H^n(\text{pt}) = 0$ para $n>0$ y $H^0(\text{pt})$ es tu grupo de coeficientes.

En su caso, su grupo de coeficientes será el grupo subyacente de $R$ . Entonces, como $H_n$ es una teoría homológica ordinaria, satisface el axioma de dimensión, por lo que $H_n(\text{pt}) = 0$ para $n>0$ . Entonces $h^n(\text{pt}) = \text{Hom}(0,R) = 0$ para $n>0$ . Ahora, $H_0(\text{pt})\cong R$ Así que $h^0(\text{pt})\cong\text{Hom}(R,R)\cong R$ según se desee.

Nota: parte de su confusión puede deberse a que confunde las definiciones de teorías "reducidas" con las de teorías "ordinarias" o "generalizadas". Todas ellas tienen definiciones ligeramente diferentes. Por ejemplo, las teorías reducidas tienen $\widetilde{H}_n(\text{pt}) = 0$ para $n\geq0$ no sólo $n>0$ . Las teorías ordinarias satisfacen todos los axiomas habituales de Eilenberg-Steenrod, y las teorías generalizadas no satisfacen en absoluto el axioma de dimensión, lo que significa que los espacios contractibles tendrán homología no trivial en dimensión positiva en estas teorías.