Equivalencia homotópica de S1 y R2-0

Question

Quiero demostrar que $X=S^1=\{x^2+y^2=1|x,y\in \mathbb{R}\}$ y $Y=\mathbb{R}^2-\{0\}$ son homotópicamente equivalentes. Para ello tengo que encontrar una función $f:X\rightarrow Y$ y una función $g:Y\rightarrow X$ tal que $f\circ g$ es homotópica a la $id_Y$ y $g\circ f$ es homotópica a la $id_X$ .

La construcción de $g$ es fácil: $g(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ .

Pero ¿cómo construyo $f$ ? Existe cierta ambigüedad "¿cuánto estiro el círculo unitario?

Muchas gracias de antemano

Answer 1

$\mathbb{S}^{n} \simeq \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace$

De hecho, considere las funciones: $$f: \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace \longrightarrow \mathbb{S}^{n}$$ y $$i : \mathbb{S}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace$$ así definida: $f(x) = \dfrac{x}{||x||}$ y y $i$ la inclusión.

1) $(f \circ i) = \text{id}_{\mathbb{S}^{n}}$

2) $i \circ f : \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace \longrightarrow \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace $ es homotópica a la aplicación identidad de $\mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace$ mediante una homotopía lineal, ya que cada punto $x \neq 0$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ puede unirse al $\dfrac{x}{||x||}$ mediante un segmento de recta que no contenga el origen. Más precisamente: $$H : \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace \times I \longrightarrow \mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace $$ es la homotopía lineal antes mencionada, así definida: $$H(x,t) = (1-t)x + tf(x)$$ tenga en cuenta que:

3) $H(x,0) = x = \text{id}_{\mathbb{R}^{n+1} - \lbrace 0 \rbrace}$

4) $H(x,1) = f(x) = (i \circ f)(x)$

El resultado se desprende de los puntos $(1)$ y $(4)$ .