Dado f(x)=12xTAx+bTx+αf(x)=12xTAx+bTx+α
donde A es una matriz simétrica de nxn, b es un vector de n dimensiones, y alpha un escalar. Demuestra que
▽xf(x)=Ax+b▽xf(x)=Ax+b
y
H=▽2xf(x)=AH=▽2xf(x)=A
¿Es simplemente cuestión de derivar con respecto a X, cómo abordarías esto?
∇f=(∂f/∂x1,…,∂f/∂xn)t∇f=(∂f/∂x1,…,∂f/∂xn)t denota el vector de derivadas parciales de ff y es una notación completamente estándar.
Por otro lado, ∇2f∇2f parece usarse aquí de una manera inusual, es decir, para denotar la Hesseana (la matriz de todas las segundas derivadas parciales), (∂2f/∂xi∂xj)ni,j=1(∂2f/∂xi∂xj)ni,j=1.
(El significado usual de ∇2f∇2f es el Laplaciano, ∂2f/∂x21+…+∂2f/∂x2n∂2f/∂x21+…+∂2f/∂x2n.)
No es tan inusual; algunos libros de optimización utilizan ∇2∇2 como abreviatura para el Hessiano (en el sentido de ∇∇ de ∇f∇f también conocido como el gradiente).
Estoy acostumbrado a la siguiente notación: a) ∇2f∇2f y ∇2→F∇2→F como el laplaciano de ff (función escalar) o →F→F (campo vectorial), en física b) ∇2A∇2A como el Hessiano de la matriz AA, en optimización.
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El símbolo se llama "nabla" o "del"; ver es.wikipedia.org/wiki/Nabla
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Ok, entonces en este caso el problema es cuestión de tomar la derivada con respecto a x de la ecuación dada?
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@Greg: ¿Es ∇xf(x)=Ax+b∇xf(x)=Ax+b o ∇f(x)=Ax+b∇f(x)=Ax+b?
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La primera ecuación que escribiste con un superíndice 2. No veo cómo los términos se reducen en este problema.