Dado $f(x) = \frac{1}{2}x^TAx + b^Tx + \alpha$
donde A es una matriz simétrica de nxn, b es un vector de n dimensiones, y alpha un escalar. Demuestra que
$\bigtriangledown _{x}f(x) = Ax + b$
y
$H = \bigtriangledown ^{2}_{x}f(x) = A$
¿Es simplemente cuestión de derivar con respecto a X, cómo abordarías esto?
$\nabla f = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)^t$ denota el vector de derivadas parciales de $f$ y es una notación completamente estándar.
Por otro lado, $\nabla^2 f$ parece usarse aquí de una manera inusual, es decir, para denotar la Hesseana (la matriz de todas las segundas derivadas parciales), $(\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j)_{i,j=1}^n$.
(El significado usual de $\nabla^2 f$ es el Laplaciano, $\partial^2 f/\partial x_1^2 + \ldots + \partial^2 f/\partial x_n^2$.)
No es tan inusual; algunos libros de optimización utilizan $\nabla^2$ como abreviatura para el Hessiano (en el sentido de $\nabla$ de $\nabla f$ también conocido como el gradiente).
Estoy acostumbrado a la siguiente notación: a) $\nabla ^{2}f$ y $\nabla ^{2}\overrightarrow{F}$ como el laplaciano de $f$ (función escalar) o $\overrightarrow{F}$ (campo vectorial), en física b) $\nabla ^{2}A$ como el Hessiano de la matriz $A$, en optimización.
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El símbolo se llama "nabla" o "del"; ver es.wikipedia.org/wiki/Nabla
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Ok, entonces en este caso el problema es cuestión de tomar la derivada con respecto a x de la ecuación dada?
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@Greg: ¿Es $\nabla _{x}f(x)=Ax+b$ o $\nabla f(x)=Ax+b$?
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La primera ecuación que escribiste con un superíndice 2. No veo cómo los términos se reducen en este problema.