$Y_i=f(x_i)+e_i$ donde $e_i \sim N(0,1)$ cuál es la varianza de $Y$ ?

Question

Tengo $n$ $Y$ s: $Y=(Y_1,\ldots,Y_n)$ . ¿Cuál es la varianza de $Y$ cuando $e_i$ son las únicas variables aleatorias y son independientes. Puedo asegurar que la media es $0$ ¿pero qué pasa con la varianza? ¿es 1 o es $f(x)$ tener un impacto

Answer 1

Si $x_i$ es fijo, es decir, no aleatorio, entonces $\operatorname{var} (f(x_i) + e_i) = \operatorname{var}(e_i).$

(Pero si, por ejemplo, eliges al azar un índice $i,$ entonces $x_i$ se convierte en aleatoria, incluso si cada uno de $x_1,x_2,x_3,\ldots$ es fijo y no al azar).

PS: Tal vez pasé por alto que quieres la varianza del vector en su conjunto. Según la definición del célebre libro de Feller sobre probabilidad, si $Y$ es un $n\times 1$ vector columna entonces $$\operatorname{var}(Y) = \operatorname{E}((Y-\operatorname{E}Y)(Y-\operatorname{E}Y)^T)$$ es un $n\times n$ matriz. Las entradas son las covarianzas. Usted no nos ha dicho nada acerca de la conjunta distribución de $e_1,\ldots,e_n,$ así que no conocemos las covarianzas. Si son todas $0$ (que sería el caso si pudiéramos decir que $e_1,\ldots,e_n$ son independientes) entonces tenemos $$ \operatorname{var}(Y) = \begin{bmatrix} \operatorname{var}(e_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \operatorname{var}(e_2) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \operatorname{var}(e_3) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \operatorname{var}(e_n) \end{bmatrix}. $$