Valor de "por supuesto" en la literatura matemática

Question

He estado pensando en el valor de escribir "por supuesto" en los artículos de matemáticas (o sus variantes, como "obviamente", etc.). En concreto, mi línea de pensamiento actual es que si algo es obvio, entonces es obvio que es obvio (así que ¿para qué incluirlo?).

El ejemplo que inspiró este post es: Si d divide a a y d divide b, entonces por supuesto d también divide a+b.

¿Hay ejemplos en la literatura matemática en los que el término "por supuesto" tenga valor?

Más concretamente, busco un ejemplo (o varios), a ser posible de un autor conocido, en el que "por supuesto" u "obviamente" o algo similar añada realmente un valor tangible a una frase (en lugar de implicar simplemente: (a) es obvio para mí, soy tan listo o (b) no puedo molestarme en averiguar los detalles).

Answer 1

No estoy de acuerdo en que si algo es obvio, entonces es obvio que es obvio. Cuando un autor declara en una exposición matemática que un hecho es obvio, o dice "por supuesto" o algo con un significado similar, entonces es una señal de que el lector debería ser capaz de encontrar una razón muy fácil que justifique la afirmación, en lugar de una compleja. Es una información útil que el autor debe señalar, y yo, como lector, lo he agradecido a menudo.

Los usos verdaderamente agravantes de estas frases ocurren cuando el autor dice que algo es "obvio" o "claro", pero en realidad no lo es. Seguro que muchos de nosotros nos hemos encontrado en situaciones leyendo un artículo en las que el autor dice "claramente", pero después de pensarlo mucho, sigue sin estar tan claro. Creo que estas frases se utilizan a menudo porque el autor no ha querido trabajar todos los detalles, una especie de pereza, que también puede ser una peligrosa fuente de errores matemáticos.

He visto trabajos en los que el autor afirma: "Es obvio que X, y permítanme explicar por qué...".

Answer 2

Cuando era estudiante de posgrado, un profesor (cuyo nombre permanecerá en el anonimato ya que podría estar citando mal) dijo algo parecido a "Si quieres ver dónde están los errores en un artículo de matemáticas, sólo tienes que buscar los lugares en los que el autor afirma 'es obvio que', 'claramente' o 'por supuesto'".

Answer 3

Si alguien dijera "por supuesto que la ecuación está bien planteada porque es elíptica, etc." enseñaría al lector que la afirmación no sólo es cierta, sino que existe una línea de pensamiento bien conocida para demostrar el resultado.

En este sentido, no se afirma que la prueba sea corta o que sólo contenga pasos sencillos, pero sí que entre cierta clase de personas familiarizadas con la zona es, de hecho, un camino bien transitado.

Consulté brevemente un diccionario y encontré estas dos definiciones para "por supuesto" 1. "ciertamente; definitivamente" 2. "en el orden habitual o natural de las cosas"

Sugiero que "por supuesto" es útil en segunda instancia como indicador pedagógico.

No pretendo que éste sea siempre el uso empleado en la escritura matemática, pero es bueno si se utiliza en las circunstancias adecuadas.

Answer 4

Al igual que Konrad Swanepoel, he encontrado muchos errores, sobre todo en mi propio trabajo, en torno a "Por supuesto" o expresiones comparables, y el dicho de uno de mis primeros profesores que cito a menudo es "Si es obvio, entonces es fácil de demostrar, así que demuéstralo".

Dicho esto, creo que hay casos en los que "por supuesto" añade algo de valor a un texto matemático: en concreto, para justificar ante el lector por qué no se toma un camino aparentemente más corto. Supongamos que queremos demostrar una determinada afirmación y que, en nuestro contexto, la demostración sería fácil si algunos grupos fueran finitos, y supongamos que en el documento histórico estándar sobre el tema que estamos generalizando, los grupos en cuestión son finitos. Entonces, creo que es útil señalar al principio de tu demostración o en un comentario que "Por supuesto, si se supiera que los grupos son finitos, podríamos utilizar la estrategia de...". Este "por supuesto", lejos de llamar la atención sobre lo inteligente que es el autor, supone que el lector podría haber previsto una prueba aparentemente más corta y explica por qué no se tomó este camino corto.

Answer 5

Hola,

Estoy de acuerdo con algunos de los comentarios anteriores: "por supuesto" es útil para señalar que algún paso es trivial (por ejemplo, consecuencia directa de la definición), a diferencia del resto de partes no triviales de la demostración. A veces, "por supuesto" es útil sólo como recurso estilístico en la redacción, para introducir y conectar una frase con la anterior. Pero puede resultar muy frustrante para el lector si este paso no es trivial, aunque el autor afirme que lo es.

Sentí curiosidad por esta cuestión y decidí buscar algunos ejemplos en la "literatura matemática", como sugería el autor original. He consultado "A Course in Arithmetic", de J-P. Serre (que muchos consideran un muy buen escritor de matemáticas) y la expresión "por supuesto" aparece exactamente dos veces. En ambos casos, "por supuesto" aparece en un comentario entre paréntesis:

1) (p.35) Corolario. - Para dos formas cuadráticas no degeneradas sobre $\mathbb{F}_q$ para que sean equivalentes es necesario y suficiente que tengan el mismo rango y el mismo discriminante. (Por supuesto, el discriminante se considera un elemento del grupo cociente $\mathbb{F}_q^\ast/\mathbb{F}_q^{\ast 2}$ .)

2) (p.73) Sea $A$ sea un subconjunto de $P$ [ $P$ es el conjunto de los números primos]. Se dice que $A$ tiene por densidad un número real $k$ cuando la relación $$ \left(\sum_{p\in A}\frac{1}{p^s} \right)/ \left(\log \frac{1}{s-1}\right)$$ tiende a $k$ cuando $s\to 1$ . (Por supuesto, luego hay que $0 \leq k \leq 1$ .)

En el ejemplo (1), tal como está planteado el corolario, es necesaria una observación, pero (i) del contexto se deduce claramente que eso es lo que quiere decir el autor, y (ii) en este contexto es típico considerar discriminantes sólo hasta los cuadrados. Aquí veo este "por supuesto" como un recordatorio de (ii).

El ejemplo (2) es más complicado, ya que no es inmediatamente obvio que el límite de la expresión como $s\to 1$ está entre $0$ y $1$ . Pero no interpreto este "por supuesto" como un "claramente" en este caso, sino más bien una especie de "no te preocupes, si vuelves atrás y compruebas Cor 2 en la p. 70, puedes convencerte de que $0\leq k \leq 1$ y tiene sentido llamar a este número "densidad".

Álvaro

PD: En "Un curso de aritmética", la palabra "claramente" aparece muchas veces, mientras que "obviamente" nunca se utilizó en todo el libro.